Solve the integral: ∫₀² (6x-2) dx

Решение:

Для решения определенного интеграла \( \int_{0}^{2} (6x-2) dx \) сначала найдём первообразную функции \( f(x) = 6x-2 \).

1. Первообразная для \( 6x \) равна \( \frac{6x^2}{2} = 3x^2 \).
2. Первообразная для \( -2 \) равна \( -2x \).
3. Таким образом, первообразная \( F(x) = 3x^2 - 2x \).
4. Теперь вычислим значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования и найдём разность:

\[ F(2) - F(0) = (3(2)^2 - 2(2)) - (3(0)^2 - 2(0)) \]

\[ F(2) - F(0) = (3 \cdot 4 - 4) - (0 - 0) \]

\[ F(2) - F(0) = (12 - 4) - 0 \]

\[ F(2) - F(0) = 8 \]