Solve the integral: $$\int_{0}^{0.5} \frac{12dx}{(4x-3)^4}$$

Решение:

Для решения данного определённого интеграла используем метод замены переменной.

1. Пусть \( u = 4x - 3 \).
2. Тогда \( du = 4dx \), откуда \( dx = \frac{1}{4}du \).
3. Изменим пределы интегрирования:
• При \( x = 0 \): \( u = 4(0) - 3 = -3 \).
• При \( x = 0.5 \): \( u = 4(0.5) - 3 = 2 - 3 = -1 \).
4. Подставим замену в интеграл:

\[
\int_{-3}^{-1} \frac{12 \cdot \frac{1}{4}du}{u^4} = \int_{-3}^{-1} \frac{3}{u^4}du = 3 \int_{-3}^{-1} u^{-4}du \]

5. Вычислим интеграл:

\[ 3 \left[ \frac{u^{-3}}{-3} \right]_{-3}^{-1} = 3 \left[ -\frac{1}{3u^3} \right]_{-3}^{-1} = -\frac{1}{u^3} \Big|_{-3}^{-1} \]

6. Подставим пределы интегрирования:

\[ -\frac{1}{(-1)^3} - \left( -\frac{1}{(-3)^3} \right) = -\frac{1}{-1} - \left( -\frac{1}{-27} \right) = 1 - \left( \frac{1}{27} \right) = 1 - \frac{1}{27} = \frac{27 - 1}{27} = \frac{26}{27} \]

Ответ: $$\frac{26}{27}$$.