Solve the integral: $$\int_0^2 (\frac{1}{3}x - \sqrt{x}) dx$$

Решение:

Для решения определённого интеграла \( \int_0^2 (\frac{1}{3}x - \sqrt{x}) dx \) необходимо найти первообразную функции \( f(x) = \frac{1}{3}x - \sqrt{x} \) и затем применить формулу Ньютона-Лейбница.

1. Найдем первообразную для \( \frac{1}{3}x \): \( \int \frac{1}{3}x dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{6} \).
2. Найдем первообразную для \( \sqrt{x} \), представив \( \sqrt{x} \) как \( x^{1/2} \): \( \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} \).
3. Общая первообразная функции \( f(x) \) равна \( F(x) = \frac{x^2}{6} - \frac{2}{3}x^{3/2} \).
4. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).
5. Подставим пределы интегрирования: \( F(2) = \frac{2^2}{6} - \frac{2}{3}(2)^{3/2} = \frac{4}{6} - \frac{2}{3}(2 \sqrt{2}) = \frac{2}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3} \).
6. \( F(0) = \frac{0^2}{6} - \frac{2}{3}(0)^{3/2} = 0 \).
7. Вычислим значение интеграла: \( F(2) - F(0) = (\frac{2}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}) - 0 = \frac{2 - 4 \sqrt{2}}{3} \).

Ответ: \( \frac{2 - 4 \sqrt{2}}{3} \).