Solve the integral: $$ \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{9 + \sin^2 x} dx $$

Решение:

Для решения данного интеграла воспользуемся заменой переменной. Пусть \( u = \sin x \). Тогда \( du = \cos x dx \).

Изменим пределы интегрирования:

• При \( x = 0 \), \( u = \sin 0 = 0 \).
• При \( x = \frac{\pi}{2} \), \( u = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \).

Интеграл примет вид:

\[ \int_0^1 \frac{1}{9 + u^2} du \]

Это табличный интеграл вида \( \int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C \).

В нашем случае \( a^2 = 9 \), значит \( a = 3 \).

\[ \int_0^1 \frac{1}{3^2 + u^2} du = \left[ \frac{1}{3} \arctan \left( \frac{u}{3} \right) \right]_0^1 \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ \frac{1}{3} \arctan \left( \frac{1}{3} \right) - \frac{1}{3} \arctan \left( \frac{0}{3} \right) \]

Так как \( \arctan(0) = 0 \), то:

\[ \frac{1}{3} \arctan \left( \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{1}{3} \arctan \left( \frac{1}{3} \right) \]

Ответ: \( \frac{1}{3} \arctan \left( \frac{1}{3} \right) \)