Solve the integral: \(\int_{1}^{3} (x^3 - 4x) dx\)

Решение:

Для решения данного определённого интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

1. Найдём первообразную для функции \( f(x) = x^3 - 4x \). Первообразная \( F(x) \) находится как сумма первообразных от каждого члена:
   \( F(x) = \int (x^3 - 4x) dx = \int x^3 dx - \int 4x dx \)
2. Интегрируем каждый член:
   \( \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \)
   \( \int 4x dx = 4 \int x dx = 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 \)
3. Таким образом, первообразная равна:
   \( F(x) = \frac{x^4}{4} - 2x^2 \)
4. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \). В нашем случае \( a = 1 \) и \( b = 3 \).
5. Вычислим значение первообразной в верхнем пределе интегрирования (b=3):
   \( F(3) = \frac{3^4}{4} - 2(3^2) = \frac{81}{4} - 2(9) = \frac{81}{4} - 18 = \frac{81}{4} - \frac{72}{4} = \frac{9}{4} \)
6. Вычислим значение первообразной в нижнем пределе интегрирования (a=1):
   \( F(1) = \frac{1^4}{4} - 2(1^2) = \frac{1}{4} - 2(1) = \frac{1}{4} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{7}{4} \)
7. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе:
   \( \int_{1}^{3} (x^3 - 4x) dx = F(3) - F(1) = \frac{9}{4} - \left(-\frac{7}{4}\right) = \frac{9}{4} + \frac{7}{4} = \frac{16}{4} = 4 \)

Ответ: 4