Solve the integral: \(\int_{1}^{5} \frac{\sqrt{2x-1}}{x} dx\)

Решение:

Для вычисления данного интеграла воспользуемся заменой переменной.

1. Пусть \( u = \sqrt{2x-1} \). Тогда \( u^2 = 2x-1 \), откуда \( 2x = u^2 + 1 \) и \( x = \frac{u^2+1}{2} \).
2. Продифференцируем \( u \) по \( x \): \( du = \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} \cdot 2 dx \), что упрощается до \( du = \frac{dx}{\sqrt{2x-1}} \) или \( dx = \sqrt{2x-1} du = u du \).
3. Изменим пределы интегрирования:
   • Когда \( x = 1 \), \( u = \sqrt{2\cdot1-1} = \sqrt{1} = 1 \).
   • Когда \( x = 5 \), \( u = \sqrt{2\cdot5-1} = \sqrt{9} = 3 \).
4. Подставим замену в интеграл: \[ \int_{1}^{5} \frac{\sqrt{2x-1}}{x} dx = \int_{1}^{3} \frac{u}{\frac{u^2+1}{2}} \cdot u du \]
5. Упростим выражение: \[ \int_{1}^{3} \frac{2u^2}{u^2+1} du \]
6. Выделим целую часть: \[ \int_{1}^{3} \frac{2(u^2+1) - 2}{u^2+1} du = \int_{1}^{3} \left( 2 - \frac{2}{u^2+1} \right) du \]
7. Вычислим интеграл: \[ \left[ 2u - 2\arctan(u) \right]_{1}^{3} \]
8. Подставим пределы интегрирования: \[ (2\cdot3 - 2\arctan(3)) - (2\cdot1 - 2\arctan(1)) \]
9. Упростим: \[ (6 - 2\arctan(3)) - (2 - 2\cdot\frac{\pi}{4}) \] \[ 6 - 2\arctan(3) - 2 + \frac{\pi}{2} \] \[ 4 - 2\arctan(3) + \frac{\pi}{2} \]

Ответ: \( 4 - 2\arctan(3) + \frac{\pi}{2} \).