Solve the integral: \( \int (2x - 4^x) dx \)

Решение:

Для решения данного интеграла воспользуемся свойством линейности интегралов и табличными интегралами.

1. Разделим интеграл на два: \( \int (2x - 4^x) dx = \int 2x dx - \int 4^x dx \)
2. Вынесем константу из первого интеграла: \( 2 \int x dx - \int 4^x dx \)
3. Применим правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) для первого интеграла, где \( n=1 \): \( 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \)
4. Применим правило интегрирования показательной функции \( \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} \) для второго интеграла, где \( a=4 \): \( \frac{4^x}{\ln 4} \)
5. Объединим результаты и добавим константу интегрирования \( C \): \( x^2 - \frac{4^x}{\ln 4} + C \)

Ответ: \( x^2 - \frac{4^x}{\ln 4} + C \).