Solve the integral: \( \int (5x^2 - 8\sin(x) - 3e^x) dx = \)

Решение:

Для решения данного интеграла, мы можем использовать свойства линейности интегралов и основные формулы интегрирования.

1. Разделение интеграла:
   \( \int (5x^2 - 8\sin(x) - 3e^x) dx = \int 5x^2 dx - \int 8\sin(x) dx - \int 3e^x dx \)
2. Вынесение констант:
   \( = 5 \int x^2 dx - 8 \int \sin(x) dx - 3 \int e^x dx \)
3. Применение формул интегрирования:
   
   • \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
   • \( \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \)
   • \( \int e^x dx = e^x + C \)
4. Подстановка и вычисление:
   \( = 5 \left( \frac{x^{2+1}}{2+1} \right) - 8 \left( -\cos(x) \right) - 3 \left( e^x \right) + C \)
5. Упрощение:
   \( = 5 \frac{x^3}{3} + 8\cos(x) - 3e^x + C \)

Таким образом, результат интегрирования:

\( \frac{5}{3}x^3 + 8\cos(x) - 3e^x + C \)

Ответ: \( \frac{5}{3}x^3 + 8\cos(x) - 3e^x + C \).