Solve the integral: \(\int (6x^5 + 2x) dx\)

Решение:

Для решения данного интеграла мы воспользуемся правилом интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и свойством линейности интеграла \( \int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \).

1. Разделим интеграл на два: \[ \int (6x^5 + 2x) dx = \int 6x^5 dx + \int 2x dx \]
2. Вынесем константы за знак интеграла: \[ 6 \int x^5 dx + 2 \int x dx \]
3. Применим правило интегрирования степенной функции к каждому члену: \[ 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} \]
4. Упростим выражения: \[ 6 \cdot \frac{x^6}{6} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} \]
5. Сократим множители: \[ x^6 + x^2 \]
6. Добавим константу интегрирования \( C \), так как это неопределённый интеграл: \[ x^6 + x^2 + C \]

Ответ: \( x^6 + x^2 + C \).