Solve the integral: \int dx / (sin x + cos x)

Решение:

Для решения данного интеграла воспользуемся следующей заменой:

• Пусть $$t = \tan(x/2)$$.
• Тогда $$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$$, $$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$$, $$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$$.

Подставим эти выражения в интеграл:

• \[ \int \frac{dx}{\sin x + \cos x} = \int \frac{\frac{2 dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2}} = \int \frac{2 dt}{2t + 1 - t^2} = \int \frac{-2 dt}{t^2 - 2t - 1} \]

Выделим полный квадрат в знаменателе:

• $$t^2 - 2t - 1 = (t-1)^2 - 2$$.

Теперь интеграл примет вид:

• \[ \int \frac{-2 dt}{(t-1)^2 - 2} = -2 \int \frac{dt}{(t-1)^2 - (\sqrt{2})^2} \]

Используем формулу интеграла вида $$\int \frac{du}{u^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| + C$$.

• Здесь $$u = t-1$$, $$a = \sqrt{2}$$.
• \[ -2 \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{t-1-\sqrt{2}}{t-1+\sqrt{2}}\right| \right) + C = -\frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\frac{t-1-\sqrt{2}}{t-1+\sqrt{2}}\right| + C \]

Сделаем обратную замену $$t = \tan(x/2)$$:

• \[ -\frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\frac{\tan(x/2)-1-\sqrt{2}}{\tan(x/2)-1+\sqrt{2}}\right| + C \]

Также можно использовать формулу для интеграла вида $$\int \frac{dx}{a \sin x + b \cos x}$$.

• В нашем случае $$a=1$$, $$b=1$$.
• $$\int \frac{dx}{\sin x + \cos x} = \int \frac{dx}{\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\cos(\pi/4) \sin x + \sin(\pi/4) \cos x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sin(x+\pi/4)}$$
• $$= \frac{1}{\sqrt{2}} \int \csc(x+\pi/4) dx$$
• $$= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\csc(x+\pi/4) - \cot(x+\pi/4)\right| + C$$
• $$= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\frac{1 - \cos(x+\pi/4)}{\sin(x+\pi/4)}\right| + C$$
• $$= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\frac{1 - (\cos x \cos(\pi/4) - \sin x \sin(\pi/4))}{\sin x \cos(\pi/4) + \cos x \sin(\pi/4)}\right| + C$$
• $$= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos x - \sin x)}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x + \cos x)}\right| + C$$
• $$= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\frac{\sqrt{2} - \cos x + \sin x}{\sin x + \cos x}\right| + C$$

Для приведения к одному виду, можно преобразовать:

• \[ \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\frac{1 - \cos(x+\pi/4)}{\sin(x+\pi/4)}\right| = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\tan\left(\frac{x+\pi/4}{2}\right)\right| + C \]

Рассмотрим первый результат:

• \[ -\frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\frac{t-1-\sqrt{2}}{t-1+\sqrt{2}}\right| + C = -\frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\frac{\tan(x/2)-1-\sqrt{2}}{\tan(x/2)-1+\sqrt{2}}\right| + C \]

Используя тригонометрические тождества, можно показать, что оба результата эквивалентны.