Solve the integral: \int \frac{1}{1 + e^x} dx

Решение:

1. Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной.

   Пусть $$u = 1 + e^x$$. Тогда $$du = e^x dx$$.

   Выразим $$e^x$$ через $$u$$: $$e^x = u - 1$$. Следовательно, $$dx = rac{du}{e^x} = rac{du}{u-1}$$.

2. Подставим замену в интеграл:

   \[ \int \frac{1}{u} · rac{du}{u-1} \]

3. Теперь применим метод разложения на простые дроби:

   \[ rac{1}{u(u-1)} = rac{A}{u} + rac{B}{u-1} \]

   Умножим обе части на $$u(u-1)$$:

   \[ 1 = A(u-1) + Bu \]

   При $$u=1$$, получаем $$1 = B(1) → B=1$$.

   При $$u=0$$, получаем $$1 = A(0-1) → 1 = -A → A=-1$$.

   Таким образом, интеграл принимает вид:

   \[ \int \left( \frac{-1}{u} + rac{1}{u-1} \right) du \]

4. Вычислим интеграл:

   \[ -∫ rac{1}{u} du + ∫ rac{1}{u-1} du = -\ln|u| + \ln|u-1| + C \]

   Используя свойства логарифмов, получим:

   \[ ∫ rac{1}{u-1} du - ∫ rac{1}{u} du = \ln\left|rac{u-1}{u}\right| + C \]

5. Вернемся к исходной переменной $$x$$. Подставим $$u = 1 + e^x$$:

   \[ \frac{u-1}{u} = rac{(1+e^x)-1}{1+e^x} = rac{e^x}{1+e^x} \]

   Или, можно подставить $$u$$ напрямую:

   \[ \ln\left|rac{(1+e^x)-1}{1+e^x}\right| + C = \ln\left|rac{e^x}{1+e^x}\right| + C \]

Ответ: \[ С=\ln\left|\frac{e^x}{1+e^x}\right|+C \]