Solve the integral: \(\int \frac{1-\sqrt{x+1}}{1+\sqrt[3]{x+1}} dx\)

Решение:

Для решения данного интеграла, введём замену переменной. Пусть \( t = \sqrt[6]{x+1} \). Тогда \( t^6 = x+1 \), и \( 6t^5 dt = dx \).

Также, \( \sqrt{x+1} = t^3 \) и \( \sqrt[3]{x+1} = t^2 \).

Подставим это в интеграл:

\[ \int \frac{1 - t^3}{1 + t^2} \cdot 6t^5 dt \]\[ = 6 \int \frac{t^5 - t^8}{1 + t^2} dt \]\[ = 6 \int \frac{t^5}{1 + t^2} dt - 6 \int \frac{t^8}{1 + t^2} dt \]

Выполним деление многочленов:

\( t^5 / (t^2 + 1) = t^3 - t \) с остатком \( t \)

\( t^8 / (t^2 + 1) = t^6 - t^4 + t^2 - 1 \) с остатком \( 1 \)

Подставляем обратно:

\[ = 6 \int (t^3 - t + \frac{t}{1+t^2}) dt - 6 \int (t^6 - t^4 + t^2 - 1 + \frac{1}{1+t^2}) dt \]\[ = 6 \left( \frac{t^4}{4} - \frac{t^2}{2} + \frac{1}{2} \ln(1+t^2) \right) - 6 \left( \frac{t^7}{7} - \frac{t^5}{5} + \frac{t^3}{3} - t + \arctan(t) \right) + C \]

Теперь вернёмся к \( x \). Учитывая, что \( t = (x+1)^{1/6} \), то \( t^2 = (x+1)^{1/3} \), \( t^3 = (x+1)^{1/2} \), \( t^4 = (x+1)^{2/3} \), \( t^5 = (x+1)^{5/6} \), \( t^6 = x+1 \), \( t^7 = (x+1)^{7/6} \).

\[ = \frac{3}{2} (x+1)^{2/3} - 3 (x+1)^{1/3} + 3 \ln(1+(x+1)^{1/3}) - \frac{6}{7} (x+1)^{7/6} + \frac{6}{5} (x+1)^{5/6} - 2 (x+1)^{1/2} + 6 (x+1)^{1/6} - 6 \arctan((x+1)^{1/6}) + C \]

Ответ: \( \frac{3}{2} (x+1)^{2/3} - 3 (x+1)^{1/3} + 3 \ln(1+(x+1)^{1/3}) - \frac{6}{7} (x+1)^{7/6} + \frac{6}{5} (x+1)^{5/6} - 2 \sqrt{x+1} + 6 \sqrt[6]{x+1} - 6 \arctan(\sqrt[6]{x+1}) + C \)