Solve the integral: \int \frac{dx}{\sin x + \cos x}

Решение:

1. Для решения интеграла \( \int \frac{dx}{\sin x + \cos x} \) преобразуем знаменатель:

   \( \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) \)

   Используя формулу синуса суммы \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \), где \( \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \), получим:

   \( \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \)

2. Теперь интеграл имеет вид:

   \( \int \frac{dx}{\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)} \)

3. Для дальнейшего решения используем известный интеграл \( \int \frac{dx}{\sin x} = \ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C \). В нашем случае заменим \( x \) на \( x + \frac{\pi}{4} \):

   \( \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \tan \left( \frac{x + \frac{\pi}{4}}{2} \right) \right| + C \)

   Упростим аргумент тангенса:

   \( \frac{x + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \)

4. Таким образом, итоговый результат:

   \( \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \tan \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \right| + C \)

Ответ:

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \tan \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \right| + C \]