Solve the integral: $$\int \frac{e^x}{e^x + 4} dx$$

Решение:

Для решения данного интеграла используем метод замены переменной. Пусть \( u = e^x + 4 \). Тогда \( du = e^x dx \).

Подставляем в интеграл:

\[ \int \frac{1}{u} du \]

Интеграл от \( \frac{1}{u} \) равен \( \ln|u| \).

\[ \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C \]

Возвращаемся к исходной переменной, подставляя \( u = e^x + 4 \):

\[ \ln|e^x + 4| + C \]

Так как \( e^x > 0 \) для всех действительных \( x \), то \( e^x + 4 > 0 \). Следовательно, модуль можно убрать.

\[ \ln(e^x + 4) + C \]

Ответ: \( \ln(e^x + 4) + C \).