Solve the limit: lim x→4 (√x - 2) / (√2x + 1 - 3)

Решение:

При подстановке \( x = 4 \) в выражение получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Для её раскрытия используем правило Лопиталя или умножим числитель и знаменатель на сопряжённые выражения.

Метод 1: Правило Лопиталя

1. Найдем производные числителя и знаменателя:
   • Производная числителя \( (\sqrt{x} - 2)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
   • Производная знаменателя \( (\sqrt{2x + 1} - 3)' = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \)
2. Применим правило Лопиталя: \[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{2x + 1} - 3} = \lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{2x + 1}}} = \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2x + 1}}{2\sqrt{x}} \]
3. Подставим \( x = 4 \): \[ \frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1}}{2\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} \]

Метод 2: Умножение на сопряжённые выражения

1. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к числителю \( (\sqrt{x} + 2) \) и сопряжённое к знаменателю \( (\sqrt{2x + 1} + 3) \):
   
   \[ \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{2x + 1} - 3} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} \cdot \frac{\sqrt{2x + 1} + 3}{\sqrt{2x + 1} + 3} \]
2. Упростим: \[ \frac{(x - 4)}{((2x + 1) - 9)} \cdot \frac{\sqrt{2x + 1} + 3}{\sqrt{x} + 2} = \frac{(x - 4)}{(2x - 8)} \cdot \frac{\sqrt{2x + 1} + 3}{\sqrt{x} + 2} \]
3. Вынесем общий множитель \( 2 \) из знаменателя дроби \( \frac{(x - 4)}{(2x - 8)} \): \[ \frac{(x - 4)}{2(x - 4)} \cdot \frac{\sqrt{2x + 1} + 3}{\sqrt{x} + 2} \]
4. Сократим \( (x - 4) \): \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2x + 1} + 3}{\sqrt{x} + 2} \]
5. Подставим \( x = 4 \): \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1} + 3}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9} + 3}{2 + 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 + 3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \]

Ответ: \( \frac{3}{4} \).