Solve the puzzle by filling in the empty boxes with numbers such that all horizontal and vertical equations are correct.

Решение:

Обозначим пустые квадраты числами:

Верхний левый квадрат: \(a\)

Верхний правый квадрат: \(b\)

Нижний левый квадрат: \(c\)

Нижний правый квадрат: \(d\)

Исходя из изображения, имеем следующие уравнения:

1. \( a - b = 9 \)
2. \( c + d = 14 \)
3. \( a + c = 12 \)
4. \( b - d = 2 \)

Решим систему уравнений:

1. Из уравнения (1) выразим \( b \): \( b = a - 9 \).
2. Из уравнения (4) выразим \( b \): \( b = d + 2 \).
3. Приравняем выражения для \( b \): \( a - 9 = d + 2 \) → \( a - d = 11 \) → \( a = d + 11 \).
4. Из уравнения (2) выразим \( c \): \( c = 14 - d \).
5. Подставим \( a \) и \( c \) в уравнение (3): \( (d + 11) + (14 - d) = 12 \)
6. \( 25 = 12 \) - Получено противоречие.

Проверим условия ещё раз. Уравнение (4) выглядит как \( b - d = 2 \).

Попробуем решить иначе:

1. \(a - b = 9 \)
2. \(c + d = 14 \)
3. \(a + c = 12 \)
4. \(b - d = 2 \)

Из (3): \( c = 12 - a \)

Из (4): \( b = 2 + d \)

Подставим \(b\) в (1): \( a - (2 + d) = 9 \) → \( a - 2 - d = 9 \) → \( a - d = 11 \) → \( a = 11 + d \)

Подставим \(c\) в (2): \( (12 - a) + d = 14 \) → \( 12 - a + d = 14 \) → \( -a + d = 2 \) → \( a - d = -2 \)

Получили два противоречивых уравнения для \(a\) и \(d\): \( a - d = 11 \) и \( a - d = -2 \).

Возможно, уравнение (4) читается как \( b + d = 2 \) или \( d - b = 2 \)?

Если \( b + d = 2 \):

1. \(a - b = 9 \)
2. \(c + d = 14 \)
3. \(a + c = 12 \)
4. \(b + d = 2 \)

Из (4): \( b = 2 - d \)

Подставим в (1): \( a - (2 - d) = 9 \) → \( a - 2 + d = 9 \) → \( a + d = 11 \)

Из (3): \( c = 12 - a \)

Подставим в (2): \( (12 - a) + d = 14 \) → \( 12 - a + d = 14 \) → \( -a + d = 2 \) → \( a - d = -2 \)

Сложим \( a + d = 11 \) и \( a - d = -2 \): \( 2a = 9 \) → \( a = 4.5 \)

Тогда \( d = 11 - 4.5 = 6.5 \)

\( b = 2 - d = 2 - 6.5 = -4.5 \)

\( c = 12 - a = 12 - 4.5 = 7.5 \)

Проверим: \( 4.5 - (-4.5) = 9 \) (Верно)

\( 7.5 + 6.5 = 14 \) (Верно)

\( 4.5 + 7.5 = 12 \) (Верно)

\( -4.5 + 6.5 = 2 \) (Верно)

Это решение подходит, если четвертое уравнение \(b + d = 2 \). Но визуально оно похоже на \(b - d = 2 \).

Вернёмся к \(b - d = 2 \).

\(a - b = 9 \) (1)

\(c + d = 14 \) (2)

\(a + c = 12 \) (3)

\(b - d = 2 \) (4)

Из (4) \( b = d + 2 \)

Подставим в (1): \( a - (d + 2) = 9 \) → \( a - d - 2 = 9 \) → \( a - d = 11 \) (5)

Из (3) \( c = 12 - a \)

Подставим в (2): \( (12 - a) + d = 14 \) → \( 12 - a + d = 14 \) → \( -a + d = 2 \) → \( a - d = -2 \) (6)

Получили противоречие \( 11 \) и \( -2 \).

Если предположить, что верхние вычитания — это сложение, а нижние сложения — вычитание:

\(a + b = 9 \) (1)

\(c - d = 14 \) (2)

\(a - c = 12 \) (3)

\(b + d = 2 \) (4)

Из (1) \( b = 9 - a \)

Из (4) \( d = 2 - b = 2 - (9 - a) = 2 - 9 + a = a - 7 \)

Из (3) \( c = a - 12 \)

Подставим в (2): \( (a - 12) - (a - 7) = 14 \) → \( a - 12 - a + 7 = 14 \) → \( -5 = 14 \) - Противоречие.

Рассмотрим случай, когда второе равенство в нижнем ряду — \( b + d = 2 \).

\( a - b = 9 \) (1)

\( c + d = 14 \) (2)

\( a + c = 12 \) (3)

\( b + d = 2 \) (4)

Из (1) \( a = 9 + b \)

Из (4) \( d = 2 - b \)

Подставим в (2): \( c + (2 - b) = 14 \) → \( c - b = 12 \)

Теперь имеем систему:

\( a + c = 12 \) (3)

\( c - b = 12 \)

\( a = 9 + b \)

Подставим \(a\) в \(a + c = 12 \) → \( (9+b) + c = 12 \) → \( b + c = 3 \)

У нас есть \( c - b = 12 \) и \( b + c = 3 \).

Сложим эти два уравнения: \( 2c = 15 \) → \( c = 7.5 \)

Тогда \( b = 3 - c = 3 - 7.5 = -4.5 \)

\( a = 9 + b = 9 + (-4.5) = 4.5 \)

\( d = 2 - b = 2 - (-4.5) = 6.5 \)

Проверим:

\( 4.5 - (-4.5) = 9 \) (Верно)

\( 7.5 + 6.5 = 14 \) (Верно)

\( 4.5 + 7.5 = 12 \) (Верно)

\( -4.5 + 6.5 = 2 \) (Верно)

Таким образом, при условии, что последнее уравнение — \( b + d = 2 \), решение существует.

Заполним квадраты:

Верхний левый: 4.5

Верхний правый: -4.5

Нижний левый: 7.5

Нижний правый: 6.5

Ответ: Верхний левый квадрат: 4.5; Верхний правый квадрат: -4.5; Нижний левый квадрат: 7.5; Нижний правый квадрат: 6.5.