Solve the system of equations: 1/5 x - 2y = -5 1/10 x - 1/3 y = -1/2

Привет! Давай разберемся с этой системой уравнений. Это линейные уравнения, и мы можем решить их разными способами, например, методом подстановки или методом сложения. Я выберу метод сложения, так как он кажется здесь наиболее удобным.

Дано:

• \[ \begin{cases} \frac{1}{5}x - 2y = -5 \\ \frac{1}{10}x - \frac{1}{3}y = -\frac{1}{2} \end{cases} \]

Шаг 1: Умножим первое уравнение на 2.

Чтобы коэффициенты при x в обоих уравнениях стали одинаковыми (или противоположными), умножим первое уравнение на 2:

• \[ 2 \left( \frac{1}{5}x - 2y \right) = 2(-5) \]
• \[ \frac{2}{5}x - 4y = -10 \]

Теперь система выглядит так:

• \[ \begin{cases} \frac{2}{5}x - 4y = -10 \\ \frac{1}{10}x - \frac{1}{3}y = -\frac{1}{2} \end{cases} \]

Шаг 2: Приведем коэффициенты при x к общему знаменателю.

Чтобы легче было вычитать, приведем коэффициенты при x к общему знаменателю 10.

• \[ \frac{2}{5}x = \frac{4}{10}x \]

Система теперь:

• \[ \begin{cases} \frac{4}{10}x - 4y = -10 \\ \frac{1}{10}x - \frac{1}{3}y = -\frac{1}{2} \end{cases} \]

Шаг 3: Вычтем второе уравнение из первого.

Вычитаем уравнение (2) из уравнения (1):

• \[ \left( \frac{4}{10}x - 4y \right) - \left( \frac{1}{10}x - \frac{1}{3}y \right) = -10 - \left(-\frac{1}{2}\right) \]
• \[ \frac{4}{10}x - \frac{1}{10}x - 4y + \frac{1}{3}y = -10 + \frac{1}{2} \]
• \[ \frac{3}{10}x + \left(-\frac{12}{3}y + \frac{1}{3}y\right) = \frac{-20}{2} + \frac{1}{2} \]
• \[ \frac{3}{10}x - \frac{11}{3}y = -\frac{19}{2} \]

Шаг 4: Домножим второе исходное уравнение на 4, чтобы избавиться от y.

Теперь возьмем второе исходное уравнение и умножим его на 4, чтобы коэффициент при y стал -4/3:

• \[ 4 \left( \frac{1}{10}x - \frac{1}{3}y \right) = 4 \left(-\frac{1}{2}\right) \]
• \[ \frac{4}{10}x - \frac{4}{3}y = -2 \]

Теперь система выглядит так:

• \[ \begin{cases} \frac{1}{5}x - 2y = -5 \\ \frac{4}{10}x - \frac{4}{3}y = -2 \end{cases} \]

Шаг 5: Вычтем первое уравнение из второго.

Вычтем первое уравнение из этого нового второго уравнения:

• \[ \left( \frac{4}{10}x - \frac{4}{3}y \right) - \left( \frac{1}{5}x - 2y \right) = -2 - (-5) \]
• \[ \frac{4}{10}x - \frac{1}{5}x - \frac{4}{3}y + 2y = -2 + 5 \]
• \[ \frac{4}{10}x - \frac{2}{10}x - \frac{4}{3}y + \frac{6}{3}y = 3 \]
• \[ \frac{2}{10}x + \frac{2}{3}y = 3 \]
• \[ \frac{1}{5}x + \frac{2}{3}y = 3 \]

Шаг 6: Умножим первое уравнение на 1/10 и второе на 2/5.

Давай попробуем еще раз, но умножим первое уравнение на 1/10, а второе на 2/5. Это должно помочь избавиться от x.

• Умножим первое уравнение на 1/10:

\[ \frac{1}{10} \left( \frac{1}{5}x - 2y \right) = \frac{1}{10}(-5) \]

\[ \frac{1}{50}x - \frac{2}{10}y = -\frac{5}{10} \]

\[ \frac{1}{50}x - \frac{1}{5}y = -\frac{1}{2} \]

• Умножим второе уравнение на 2/5:

\[ \frac{2}{5} \left( \frac{1}{10}x - \frac{1}{3}y \right) = \frac{2}{5}\left(-\frac{1}{2}\right) \]

\[ \frac{2}{50}x - \frac{2}{15}y = -\frac{2}{10} \]

\[ \frac{1}{25}x - \frac{2}{15}y = -\frac{1}{5} \]

Шаг 7: Преобразуем систему для удобства

Давай вернемся к исходной системе и для начала избавимся от дробей в каждом уравнении.

Первое уравнение:

• \[ \frac{1}{5}x - 2y = -5 \]
• Умножим обе части на 5:
• \[ 5 \left( \frac{1}{5}x - 2y \right) = 5(-5) \]
• \[ x - 10y = -25 \]

Второе уравнение:

• \[ \frac{1}{10}x - \frac{1}{3}y = -\frac{1}{2} \]
• Умножим обе части на 30 (наименьший общий знаменатель для 10, 3, 2):
• \[ 30 \left( \frac{1}{10}x - \frac{1}{3}y \right) = 30\left(-\frac{1}{2}\right) \]
• \[ 3x - 10y = -15 \]

Теперь наша система выглядит проще:

• \[ \begin{cases} x - 10y = -25 \\ 3x - 10y = -15 \end{cases} \]

Шаг 8: Метод вычитания (убираем y).

Обрати внимание, что коэффициенты при y в обоих уравнениях одинаковые (-10). Это значит, что мы можем вычесть одно уравнение из другого, чтобы избавиться от y.

Вычтем первое уравнение из второго:

• \[ (3x - 10y) - (x - 10y) = -15 - (-25) \]
• \[ 3x - 10y - x + 10y = -15 + 25 \]
• \[ 2x = 10 \]

Теперь найдем x:

• \[ x = \frac{10}{2} \]
• \[ x = 5 \]

Шаг 9: Найдем y, подставив x в одно из уравнений.

Возьмем первое уравнение (уже без дробей):

• \[ x - 10y = -25 \]
• Подставим x = 5:
• \[ 5 - 10y = -25 \]
• Перенесем 5 в правую часть:
• \[ -10y = -25 - 5 \]
• \[ -10y = -30 \]
• Найдем y:
• \[ y = \frac{-30}{-10} \]
• \[ y = 3 \]

Шаг 10: Проверка.

Подставим найденные значения x = 5 и y = 3 в исходные уравнения, чтобы убедиться, что они верны.

Первое уравнение:

• \[ \frac{1}{5}(5) - 2(3) = 1 - 6 = -5 \]
• (Верно!)

  Второе уравнение:

  • \[ \frac{1}{10}(5) - \frac{1}{3}(3) = \frac{5}{10} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{1}{2} \]
  • (Верно!)

    Ответ:

    • x = 5, y = 3