Solve the system of equations: 1) \(\begin{cases} x^2 - 9y^2 + 2x - 6y = 0 \\ 5x + 6y + 1 = 0 \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} 6y - 5x - 1 = 0 \\ \frac{x-1}{3} + \frac{y+1}{2} = 10 \end{cases}\) 3) \(\begin{cases} \frac{y+1}{3x-4} = \frac{1}{2} \\ \frac{5x+y}{3x+11} = 1 \end{cases}\)

Краткое пояснение:

Система 1:

1. Шаг 1: Выразим из второго уравнения \(y\).

\( 6y = -5x - 1 \)
\( y = \frac{-5x-1}{6} \)

2. Шаг 2: Подставим выражение для \(y\) в первое уравнение.

\( x^2 - 9\left(\frac{-5x-1}{6}\right)^2 + 2x - 6\left(\frac{-5x-1}{6}\right) = 0 \)
\( x^2 - 9\frac{(5x+1)^2}{36} + 2x + 5x + 1 = 0 \)
\( x^2 - \frac{(25x^2+10x+1)}{4} + 7x + 1 = 0 \)
\( 4x^2 - (25x^2+10x+1) + 28x + 4 = 0 \)
\( 4x^2 - 25x^2 - 10x - 1 + 28x + 4 = 0 \)
\( -21x^2 + 18x + 3 = 0 \)
\( 7x^2 - 6x - 1 = 0 \)

3. Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение.

\( D = (-6)^2 - 4(7)(-1) = 36 + 28 = 64 \)
\( x_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 · 7} = \frac{6+8}{14} = 1 \)
\( x_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 · 7} = \frac{6-8}{14} = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7} \)

4. Шаг 4: Найдем соответствующие значения \(y\).

При \( x=1 \): \( y = \frac{-5(1)-1}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \)
При \( x=-\frac{1}{7} \): \( y = \frac{-5(-\frac{1}{7})-1}{6} = \frac{\frac{5}{7}-1}{6} = \frac{\frac{5-7}{7}}{6} = \frac{-\frac{2}{7}}{6} = -\frac{2}{42} = -\frac{1}{21} \)


Система 2:

1. Шаг 1: Преобразуем второе уравнение.

\( \frac{x-1}{3} + \frac{y+1}{2} = 10 \)
\( 2(x-1) + 3(y+1) = 60 \)
\( 2x - 2 + 3y + 3 = 60 \)
\( 2x + 3y + 1 = 60 \)
\( 2x + 3y = 59 \)

2. Шаг 2: Выразим \(y\) из первого уравнения.

\( 6y = 5x + 1 \)
\( y = \frac{5x+1}{6} \)

3. Шаг 3: Подставим выражение для \(y\) во второе (преобразованное) уравнение.

\( 2x + 3\left(\frac{5x+1}{6}\right) = 59 \)
\( 2x + \frac{5x+1}{2} = 59 \)
\( 4x + 5x + 1 = 118 \)
\( 9x = 117 \)
\( x = \frac{117}{9} = 13 \)

4. Шаг 4: Найдем соответствующее значение \(y\).

\( y = \frac{5(13)+1}{6} = \frac{65+1}{6} = \frac{66}{6} = 11 \)


Система 3:

1. Шаг 1: Преобразуем оба уравнения.

Из первого: \( 2(y+1) = 3x-4 \) => \( 2y + 2 = 3x - 4 \) => \( 3x - 2y = 6 \)
Из второго: \( 5x+y = 3x+11 \) => \( 2x + y = 11 \)

2. Шаг 2: Выразим \(y\) из второго преобразованного уравнения.

\( y = 11 - 2x \)

3. Шаг 3: Подставим выражение для \(y\) в первое преобразованное уравнение.

\( 3x - 2(11 - 2x) = 6 \)
\( 3x - 22 + 4x = 6 \)
\( 7x = 28 \)
\( x = 4 \)

4. Шаг 4: Найдем соответствующее значение \(y\).

\( y = 11 - 2(4) = 11 - 8 = 3 \)