Solve the system of equations: { 1/x - 1/y = 1; 2/x - 1/(2y) = 5.

Дано:

• \[ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{2y} = 5 \end{cases} \]

Решение:

Эта система уравнений решается методом подстановки или введения новых переменных.

1. Введем новые переменные:
   Пусть $$a = \frac{1}{x}$$ и $$b = \frac{1}{y}$$. Тогда система примет вид:

• \[ \begin{cases} a - b = 1 \\ 2a - \frac{1}{2}b = 5 \end{cases} \]

2. Решим полученную систему линейных уравнений:
   Из первого уравнения выразим $$a$$: $$a = 1 + b$$.
3. Подставим во второе уравнение:
   \[ 2(1 + b) - \frac{1}{2}b = 5 \]
4. Раскроем скобки и упростим:
   \[ 2 + 2b - \frac{1}{2}b = 5 \]
   \[ 2b - \frac{1}{2}b = 5 - 2 \]
   \[ \frac{4b - b}{2} = 3 \]
   \[ \frac{3b}{2} = 3 \]
   \[ 3b = 6 \]
   \[ b = 2 \]
5. Найдем $$a$$:
   \[ a = 1 + b = 1 + 2 = 3 \]
6. Вернемся к исходным переменным:
   Мы нашли, что $$a=3$$ и $$b=2$$. Теперь найдем $$x$$ и $$y$$.
• $$a = \frac{1}{x} \rightarrow 3 = \frac{1}{x} \rightarrow x = \frac{1}{3}$$
• $$b = \frac{1}{y} \rightarrow 2 = \frac{1}{y} \rightarrow y = \frac{1}{2}$$

Проверка:

• Первое уравнение: $$\frac{1}{1/3} - \frac{1}{1/2} = 3 - 2 = 1$$. (Верно)
• Второе уравнение: $$\frac{2}{1/3} - \frac{1}{2(1/2)} = 2 \times 3 - \frac{1}{1} = 6 - 1 = 5$$. (Верно)

Ответ: $$x = \frac{1}{3}$$, $$y = \frac{1}{2}$$