Solve the system of equations: 16. { x + 5y - z = -12 -2x + 6y + 9z = 20 -3x + 4y + 3z = -2

Решение:

Решим систему методом Гаусса.

Исходная система:

• \( x + 5y - z = -12 \) (1)
• \( -2x + 6y + 9z = 20 \) (2)
• \( -3x + 4y + 3z = -2 \) (3)

Умножим уравнение (1) на 2 и прибавим к уравнению (2):

\( 2(x + 5y - z) + (-2x + 6y + 9z) = 2(-12) + 20 \)

\( 2x + 10y - 2z - 2x + 6y + 9z = -24 + 20 \)

\( 16y + 7z = -4 \) (4)

Умножим уравнение (1) на 3 и прибавим к уравнению (3):

\( 3(x + 5y - z) + (-3x + 4y + 3z) = 3(-12) + (-2) \)

\( 3x + 15y - 3z - 3x + 4y + 3z = -36 - 2 \)

\( 19y = -38 \)

\( y = \frac{-38}{19} \)

\( y = -2 \)

Подставим \( y = -2 \) в уравнение (4):

\( 16(-2) + 7z = -4 \)

\( -32 + 7z = -4 \)

\( 7z = -4 + 32 \)

\( 7z = 28 \)

\( z = \frac{28}{7} \)

\( z = 4 \)

Подставим \( y = -2 \) и \( z = 4 \) в уравнение (1):

\( x + 5(-2) - 4 = -12 \)

\( x - 10 - 4 = -12 \)

\( x - 14 = -12 \)

\( x = -12 + 14 \)

\( x = 2 \)

Проверка:

• \( 2 + 5(-2) - 4 = 2 - 10 - 4 = -12 \) (Верно)
• \( -2(2) + 6(-2) + 9(4) = -4 - 12 + 36 = 20 \) (Верно)
• \( -3(2) + 4(-2) + 3(4) = -6 - 8 + 12 = -2 \) (Верно)

Ответ: \( x = 2, y = -2, z = 4 \).