Solve the system of equations: 16. { x + 5y - z = -12 -2x + 6y + 9z = 20 -3x + 4y + 3z = -2

Решение:

Для решения данной системы уравнений методом подстановки или исключения, сначала выразим одну переменную через другие или приведем коэффициенты при одной из переменных к противоположным значениям. Воспользуемся методом Гаусса.

• Шаг 1: Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым, чтобы исключить x.
• \[ 2(x + 5y - z) + (-2x + 6y + 9z) = 2(-12) + 20 \]
• \[ 2x + 10y - 2z - 2x + 6y + 9z = -24 + 20 \]
• \[ 16y + 7z = -4 \] (Уравнение 4)
• Шаг 2: Умножим первое уравнение на 3 и сложим с третьим, чтобы исключить x.
• \[ 3(x + 5y - z) + (-3x + 4y + 3z) = 3(-12) + (-2) \]
• \[ 3x + 15y - 3z - 3x + 4y + 3z = -36 - 2 \]
• \[ 19y = -38 \]
• Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно y.
• \[ y = \frac{-38}{19} \]
• \[ y = -2 \]
• Шаг 4: Подставим значение y = -2 в уравнение 4, чтобы найти z.
• \[ 16(-2) + 7z = -4 \]
• \[ -32 + 7z = -4 \]
• \[ 7z = -4 + 32 \]
• \[ 7z = 28 \]
• \[ z = \frac{28}{7} \]
• \[ z = 4 \]
• Шаг 5: Подставим значения y = -2 и z = 4 в первое уравнение, чтобы найти x.
• \[ x + 5(-2) - 4 = -12 \]
• \[ x - 10 - 4 = -12 \]
• \[ x - 14 = -12 \]
• \[ x = -12 + 14 \]
• \[ x = 2 \]

Проверка:

• Первое уравнение: 2 + 5(-2) - 4 = 2 - 10 - 4 = -12 (Верно)
• Второе уравнение: -2(2) + 6(-2) + 9(4) = -4 - 12 + 36 = -16 + 36 = 20 (Верно)
• Третье уравнение: -3(2) + 4(-2) + 3(4) = -6 - 8 + 12 = -14 + 12 = -2 (Верно)

Ответ: x = 2, y = -2, z = 4