Solve the system of equations: 2.143. a) \begin{cases} x^2 - y = 0.75 \\ y^2 + x = 0.75 \end{cases}

Решение:

Данная система уравнений:

• \[ \begin{cases} x^2 - y = 0.75 \\ y^2 + x = 0.75 \end{cases} \]

Вычтем второе уравнение из первого:

• \[ (x^2 - y) - (y^2 + x) = 0.75 - 0.75 \]
• \[ x^2 - y - y^2 - x = 0 \]
• \[ x^2 - y^2 - (x - y) = 0 \]
• \[ (x - y)(x + y) - (x - y) = 0 \]
• \[ (x - y)(x + y - 1) = 0 \]

Из этого следует, что либо $$x - y = 0$$, либо $$x + y - 1 = 0$$.

Случай 1: $$x - y = 0 → x = y$$.

Подставим $$y=x$$ во второе уравнение:

• \[ x^2 + x = 0.75 \]
• \[ x^2 + x - 0.75 = 0 \]
• \[ 4x^2 + 4x - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

• \[ D = 4^2 - 4(4)(-3) = 16 + 48 = 64 \]
• \[ \sqrt{D} = 8 \]
• \[ x_1 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0.5 \]
• \[ x_2 = \frac{-4 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -1.5 \]

Так как $$x=y$$, то решения в этом случае:

• $$x_1 = 0.5, y_1 = 0.5$$
• $$x_2 = -1.5, y_2 = -1.5$$

Случай 2: $$x + y - 1 = 0 → y = 1 - x$$.

Подставим $$y = 1 - x$$ в первое уравнение:

• \[ x^2 - (1 - x) = 0.75 \]
• \[ x^2 - 1 + x = 0.75 \]
• \[ x^2 + x - 1.75 = 0 \]
• \[ 4x^2 + 4x - 7 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

• \[ D = 4^2 - 4(4)(-7) = 16 + 112 = 128 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \]
• \[ x_3 = \frac{-4 + 8\sqrt{2}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8\sqrt{2}}{8} = -0.5 + \sqrt{2} \]
• \[ x_4 = \frac{-4 - 8\sqrt{2}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8\sqrt{2}}{8} = -0.5 - \sqrt{2} \]

Найдем соответствующие значения $$y$$:

• При $$x_3 = -0.5 + \sqrt{2}$$:
• \[ y_3 = 1 - x_3 = 1 - (-0.5 + \sqrt{2}) = 1 + 0.5 - \sqrt{2} = 1.5 - \sqrt{2} \]
• При $$x_4 = -0.5 - \sqrt{2}$$:
• \[ y_4 = 1 - x_4 = 1 - (-0.5 - \sqrt{2}) = 1 + 0.5 + \sqrt{2} = 1.5 + \sqrt{2} \]

Проверка решений:

Подставим полученные пары в исходные уравнения.

Для $$(0.5, 0.5)$$:

• $$0.5^2 - 0.5 = 0.25 - 0.5 = -0.25 ≠ 0.75$$. Ошибка в расчетах.

Пересчитаем $$0.75 = 3/4$$.

• \[ x^2 + x - \frac{3}{4} = 0 \]
• \[ 4x^2 + 4x - 3 = 0 \]
• \[ x_{1,2} = \frac{-4 ± \sqrt{16 - 4(4)(-3)}}{8} = \frac{-4 ± \sqrt{16+48}}{8} = \frac{-4 ± √ 64}{8} = \frac{-4 ± 8}{8} \]
• \[ x_1 = \frac{4}{8} = 0.5 \]
• \[ x_2 = \frac{-12}{8} = -1.5 \]

Таким образом, пары $$(0.5, 0.5)$$ и $$(-1.5, -1.5)$$ являются решениями.

Теперь пересчитаем второй случай с $$y = 1 - x$$:

• \[ x^2 - (1 - x) = \frac{3}{4} \]
• \[ x^2 + x - 1 = \frac{3}{4} \]
• \[ x^2 + x - \frac{7}{4} = 0 \]
• \[ 4x^2 + 4x - 7 = 0 \]
• \[ x_{3,4} = \frac{-4 ± \sqrt{16 - 4(4)(-7)}}{8} = \frac{-4 ± \sqrt{16+112}}{8} = \frac{-4 ± √ 128}{8} = \frac{-4 ± 8\sqrt{2}}{8} = -0.5 ± \sqrt{2} \]
• \[ x_3 = -0.5 + \sqrt{2} \]
• \[ y_3 = 1 - x_3 = 1 - (-0.5 + \sqrt{2}) = 1.5 - \sqrt{2} \]
• \[ x_4 = -0.5 - \sqrt{2} \]
• \[ y_4 = 1 - x_4 = 1 - (-0.5 - \sqrt{2}) = 1.5 + \sqrt{2} \]

Финальные решения:

• $$(0.5, 0.5)$$
• $$(-1.5, -1.5)$$
• $$(-0.5 + \sqrt{2}, 1.5 - \sqrt{2})$$
• $$(-0.5 - \sqrt{2}, 1.5 + \sqrt{2})$$