Solve the system of equations: (2(3x-y)-5=2x-3y), (5-(x-2y)=4y+18)

Решение системы уравнений:

Данная система уравнений:

\( \begin{cases} 2(3x-y)-5=2x-3y \\ 5-(x-2y)=4y+18 \end{cases} \)

Упростим первое уравнение:

\( 2(3x-y)-5=2x-3y \)

\( 6x - 2y - 5 = 2x - 3y \)

\( 6x - 2x - 2y + 3y = 5 \)

\( 4x + y = 5 \) (1)

Упростим второе уравнение:

\( 5-(x-2y)=4y+18 \)

\( 5 - x + 2y = 4y + 18 \)

\( -x + 2y - 4y = 18 - 5 \)

\( -x - 2y = 13 \) (2)

Теперь решим систему уравнений (1) и (2) методом подстановки или сложения. Воспользуемся методом подстановки. Из уравнения (1) выразим \( y \):

\( y = 5 - 4x \)

Подставим это выражение для \( y \) в уравнение (2):

\( -x - 2(5 - 4x) = 13 \)

\( -x - 10 + 8x = 13 \)

\( 7x = 13 + 10 \)

\( 7x = 23 \)

\( x = \frac{23}{7} \)

Теперь найдем \( y \), подставив значение \( x \) в выражение для \( y \):

\( y = 5 - 4x = 5 - 4 \left(\frac{23}{7}\right) \)

\( y = 5 - \frac{92}{7} \)

\( y = \frac{35}{7} - \frac{92}{7} \)

\( y = \frac{35 - 92}{7} \)

\( y = \frac{-57}{7} \)

Проверим решение, подставив значения \( x \) и \( y \) в исходные уравнения.

Первое уравнение: \( 2(3x-y)-5=2x-3y \)

\( 2\left(3\cdot\frac{23}{7} - \left(-\frac{57}{7}\right)\right)-5 = 2\left(\frac{69}{7} + \frac{57}{7}\right)-5 = 2\left(\frac{126}{7}\right)-5 = 2(18)-5 = 36-5 = 31 \)

\( 2x-3y = 2\cdot\frac{23}{7} - 3\left(-\frac{57}{7}\right) = \frac{46}{7} + \frac{171}{7} = \frac{46+171}{7} = \frac{217}{7} = 31 \)

Первое уравнение выполняется: \( 31 = 31 \).

Второе уравнение: \( 5-(x-2y)=4y+18 \)

\( 5-\left(\frac{23}{7}-2\left(-\frac{57}{7}\right)\right) = 5-\left(\frac{23}{7}+\frac{114}{7}\right) = 5-\left(\frac{137}{7}\right) = \frac{35}{7} - \frac{137}{7} = \frac{35-137}{7} = \frac{-102}{7} \)

\( 4y+18 = 4\left(-\frac{57}{7}\right)+18 = -\frac{228}{7} + \frac{126}{7} = \frac{-228+126}{7} = \frac{-102}{7} \)

Второе уравнение выполняется: \( \frac{-102}{7} = \frac{-102}{7} \).

Ответ: \( x = \frac{23}{7}, y = -\frac{57}{7} \).