Solve the system of equations: 3x^2 - 4x = y 3x - 4 = y

Решение:

Система уравнений:

• \( 3x^2 - 4x = y \)
• \( 3x - 4 = y \)

Приравняем правые части уравнений, так как они равны \( y \):

\[ 3x^2 - 4x = 3x - 4 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 3x^2 - 4x - 3x + 4 = 0 \]\[ 3x^2 - 7x + 4 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение, используя дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac \)

Здесь \( a = 3 \), \( b = -7 \), \( c = 4 \).

\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \]

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив найденные значения \( x \) во второе уравнение \( y = 3x - 4 \):

При \( x_1 = \frac{4}{3} \):

\[ y_1 = 3 \cdot \frac{4}{3} - 4 = 4 - 4 = 0 \]

При \( x_2 = 1 \):

\[ y_2 = 3 \cdot 1 - 4 = 3 - 4 = -1 \]

Таким образом, решениями системы являются пары \( (x, y) \).

Ответ: \( \left( \frac{4}{3}, 0 \right), (1, -1) \).