Solve the system of equations: 3x + 2y - z = 12; x - y + 3z = 9; 2x + 3y - 2z = 7;

Решение:

Систему уравнений можно решить методом подстановки или методом исключения.

1. Метод исключения:
2. Умножим первое уравнение на 3 и прибавим ко второму уравнению, чтобы исключить y:
• 3 * (3x + 2y - z) = 3 * 12 → 9x + 6y - 3z = 36
• (9x + 6y - 3z) + (x - y + 3z) = 36 + 9 → 10x + 5y = 45
• Разделим на 5: 2x + y = 9 → y = 9 - 2x
3. Умножим первое уравнение на 3/2 и прибавим к третьему уравнению, чтобы исключить y:
• (3/2) * (3x + 2y - z) = (3/2) * 12 → (9/2)x + 3y - (3/2)z = 18
• ((9/2)x + 3y - (3/2)z) + (2x + 3y - 2z) = 18 + 7
• (9/2)x + 2x + 3y - (3/2)z - 2z = 25
• (13/2)x + 3y - (7/2)z = 25
• Умножим на 2: 13x + 6y - 7z = 50
4. Теперь подставим y = 9 - 2x в последнее уравнение:
• 13x + 6(9 - 2x) - 7z = 50
• 13x + 54 - 12x - 7z = 50
• x - 7z = 50 - 54
• x - 7z = -4 → x = 7z - 4
5. Теперь подставим x = 7z - 4 и y = 9 - 2x в первое уравнение:
• 3(7z - 4) + 2(9 - 2(7z - 4)) - z = 12
• 21z - 12 + 2(9 - 14z + 8) - z = 12
• 21z - 12 + 2(17 - 14z) - z = 12
• 21z - 12 + 34 - 28z - z = 12
• -8z + 22 = 12
• -8z = 12 - 22
• -8z = -10
• z = -10 / -8 = 5/4
6. Найдем x:
• x = 7z - 4 = 7(5/4) - 4 = 35/4 - 16/4 = 19/4
7. Найдем y:
• y = 9 - 2x = 9 - 2(19/4) = 9 - 19/2 = 18/2 - 19/2 = -1/2
8. Проверка:
• 3(19/4) + 2(-1/2) - 5/4 = 57/4 - 1 - 5/4 = 57/4 - 4/4 - 5/4 = (57 - 4 - 5)/4 = 48/4 = 12 (Верно)
• 19/4 - (-1/2) + 3(5/4) = 19/4 + 2/4 + 15/4 = (19 + 2 + 15)/4 = 36/4 = 9 (Верно)
• 2(19/4) + 3(-1/2) - 2(5/4) = 19/2 - 3/2 - 5/2 = (19 - 3 - 5)/2 = 11/2 != 7 (Неверно)

Пересчитаем, возможно, ошибка в третьем уравнении:

1. Метод подстановки:
2. Из второго уравнения выразим x: x = 9 + y - 3z.
3. Подставим в первое уравнение:
• 3(9 + y - 3z) + 2y - z = 12
• 27 + 3y - 9z + 2y - z = 12
• 5y - 10z = 12 - 27
• 5y - 10z = -15
• Разделим на 5: y - 2z = -3 → y = 2z - 3
4. Подставим x и y в третье уравнение:
• 2(9 + y - 3z) + 3y - 2z = 7
• 18 + 2y - 6z + 3y - 2z = 7
• 5y - 8z = 7 - 18
• 5y - 8z = -11
5. Теперь подставим y = 2z - 3 в последнее уравнение:
• 5(2z - 3) - 8z = -11
• 10z - 15 - 8z = -11
• 2z = -11 + 15
• 2z = 4
• z = 2
6. Найдем y:
• y = 2z - 3 = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1
7. Найдем x:
• x = 9 + y - 3z = 9 + 1 - 3(2) = 10 - 6 = 4
8. Проверка:
• 3(4) + 2(1) - 2 = 12 + 2 - 2 = 12 (Верно)
• 4 - 1 + 3(2) = 3 + 6 = 9 (Верно)
• 2(4) + 3(1) - 2(2) = 8 + 3 - 4 = 11 - 4 = 7 (Верно)

Ответ: x = 4, y = 1, z = 2.