Solve the system of equations: { 4/(x+2y) - 1/(x-2y) = 1; 20/(x+2y) + 3/(x-2y) = 1 }

Решение системы уравнений:

1. Введем замену переменных:

   Пусть $$a = \frac{1}{x+2y}$$ и $$b = \frac{1}{x-2y}$$.

   Тогда система примет вид:

   • \[ \begin{cases} 4a - b = 1 \\ 20a + 3b = 1 \end{cases} \]
2. Решаем полученную систему методом подстановки или сложения.

   Умножим первое уравнение на 3:

   • \[ \begin{cases} 12a - 3b = 3 \\ 20a + 3b = 1 \end{cases} \]

   Сложим уравнения:

   • \[ (12a - 3b) + (20a + 3b) = 3 + 1 \\ 32a = 4 \\ a = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \]

   Подставим значение a в первое уравнение ($$4a - b = 1$$):

   • \[ 4\left(\frac{1}{8}\right) - b = 1 \\ \frac{1}{2} - b = 1 \\ b = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \]
3. Возвращаемся к исходным переменным:

   Мы получили $$a = \frac{1}{8}$$ и $$b = -\frac{1}{2}$$.

   Теперь подставим значения a и b обратно:

   • \[ \frac{1}{x+2y} = \frac{1}{8} \]
   • \[ x+2y = 8 \]
   • \[ \frac{1}{x-2y} = -\frac{1}{2} \]
   • \[ x-2y = -2 \]
4. Решаем полученную систему линейных уравнений:
   • \[ \begin{cases} x+2y = 8 \\ x-2y = -2 \end{cases} \]

   Сложим уравнения:

   • \[ (x+2y) + (x-2y) = 8 + (-2) \\ 2x = 6 \\ x = 3 \]

   Подставим значение x в первое уравнение ($$x+2y = 8$$):

   • \[ 3 + 2y = 8 \\ 2y = 5 \\ y = \frac{5}{2} \]

Ответ: $$x=3$$, $$y=\frac{5}{2}$$