Solve the system of equations: $$ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 50 \\ 12x^2 + 8y^2 = 50x \end{cases} $$

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 50 \\ 12x^2 + 8y^2 = 50x \end{cases} \)

1. Умножим первое уравнение на 4:
2. \( 4(3x^2 + 2y^2) = 4(50) \)
3. \( 12x^2 + 8y^2 = 200 \)
4. Теперь у нас есть система:
5. \( \begin{cases} 12x^2 + 8y^2 = 200 \\ 12x^2 + 8y^2 = 50x \end{cases} \)
6. Приравняем правые части уравнений:
7. \( 200 = 50x \)
8. Разделим обе части на 50:
9. \( x = \frac{200}{50} \)
10. \( x = 4 \)
11. Подставим найденное значение \( x = 4 \) в первое уравнение системы:
12. \( 3(4)^2 + 2y^2 = 50 \)
13. \( 3(16) + 2y^2 = 50 \)
14. \( 48 + 2y^2 = 50 \)
15. Вычтем 48 из обеих частей:
16. \( 2y^2 = 50 - 48 \)
17. \( 2y^2 = 2 \)
18. Разделим обе части на 2:
19. \( y^2 = 1 \)
20. Извлечём квадратный корень:
21. \( y = ±1 \)
22. Таким образом, мы получили два решения: \( x = 4, y = 1 \) и \( x = 4, y = -1 \).

Ответ: (4; 1), (4; -1).