Solve the system of equations: \(\begin{cases} 3x + y = 1 \\ \frac{x+1}{3} - \frac{y}{5} = 2 \end{cases}\)

Решение:

Для решения системы уравнений методом подстановки, выразим \( y \) из первого уравнения:

1. Из \( 3x + y = 1 \) следует \( y = 1 - 3x \).
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \[ \frac{x+1}{3} - \frac{1 - 3x}{5} = 2 \]
3. Приведем дроби к общему знаменателю 15: \[ \frac{5(x+1)}{15} - \frac{3(1 - 3x)}{15} = \frac{30}{15} \]
4. Умножим обе части уравнения на 15: \[ 5(x+1) - 3(1 - 3x) = 30 \]
5. Раскроем скобки: \[ 5x + 5 - 3 + 9x = 30 \]
6. Приведем подобные члены: \[ 14x + 2 = 30 \]
7. Перенесем константу в правую часть: \[ 14x = 30 - 2 \] \[ 14x = 28 \]
8. Найдем \( x \): \[ x = \frac{28}{14} \] \( x = 2 \)
9. Подставим найденное значение \( x \) в выражение для \( y \): \[ y = 1 - 3x = 1 - 3(2) = 1 - 6 \] \( y = -5 \)

Проверка:

Первое уравнение: \( 3(2) + (-5) = 6 - 5 = 1 \) (верно)

Второе уравнение: \( \frac{2+1}{3} - \frac{-5}{5} = \frac{3}{3} - (-1) = 1 + 1 = 2 \) (верно)

Ответ: \( x = 2, y = -5 \).