Solve the system of equations: \(\begin{cases} \frac{x+y}{8} + \frac{x-y}{6} = 4 \\ \frac{3x+y}{4} - \frac{2x-5y}{3} = 5 \end{cases}\)

Решение:

Дана система уравнений:

\(\begin{cases} \frac{x+y}{8} + \frac{x-y}{6} = 4 \\ \frac{3x+y}{4} - \frac{2x-5y}{3} = 5 \end{cases}\)

1. Умножим первое уравнение на общий знаменатель 24:
   \( 24 \cdot \left( \frac{x+y}{8} + \frac{x-y}{6} \right) = 24 \cdot 4 \)
   \( 3(x+y) + 4(x-y) = 96 \)
   \( 3x + 3y + 4x - 4y = 96 \)
   \( 7x - y = 96 \) (1)
2. Умножим второе уравнение на общий знаменатель 12:
   \( 12 \cdot \left( \frac{3x+y}{4} - \frac{2x-5y}{3} \right) = 12 \cdot 5 \)
   \( 3(3x+y) - 4(2x-5y) = 60 \)
   \( 9x + 3y - 8x + 20y = 60 \)
   \( x + 23y = 60 \) (2)
3. Выразим \( x \) из уравнения (2):
   \( x = 60 - 23y \)
4. Подставим это выражение в уравнение (1):
   \( 7(60 - 23y) - y = 96 \)
   \( 420 - 161y - y = 96 \)
   \( -162y = 96 - 420 \)
   \( -162y = -324 \)
   \( y = \frac{-324}{-162} = 2 \)
5. Подставим найденное значение \( y \) в выражение для \( x \):
   \( x = 60 - 23 \cdot 2 \)
   \( x = 60 - 46 \)
   \( x = 14 \)

Ответ: x = 14, y = 2.