Solve the system of equations: \(\begin{cases} x^2 + x + 2y = 8 \\ x^2 - x + 5y = 20 \end{cases}\)

Решение:

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (x^2 + x + 2y) - (x^2 - x + 5y) = 8 - 20 \)

\( x^2 + x + 2y - x^2 + x - 5y = -12 \)

\( 2x - 3y = -12 \)

Выразим \( x \) через \( y \):

\( 2x = 3y - 12 \)

\( x = \frac{3y - 12}{2} \)

Подставим \( x \) в первое уравнение:

\( \left(\frac{3y - 12}{2}\right)^2 + \frac{3y - 12}{2} + 2y = 8 \)

\( \frac{(3y - 12)^2}{4} + \frac{3y - 12}{2} + 2y = 8 \)

Умножим всё уравнение на 4:

\( (3y - 12)^2 + 2(3y - 12) + 8y = 32 \)

\( 9y^2 - 72y + 144 + 6y - 24 + 8y = 32 \)

\( 9y^2 - 58y + 120 = 32 \)

\( 9y^2 - 58y + 88 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 88 = 3364 - 3168 = 196 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 \)

Найдем значения \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 + 14}{2 \cdot 9} = \frac{72}{18} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 - 14}{2 \cdot 9} = \frac{44}{18} = \frac{22}{9} \]

Теперь найдем значения \( x \) для каждого \( y \):

При \( y_1 = 4 \):

\[ x_1 = \frac{3 \cdot 4 - 12}{2} = \frac{12 - 12}{2} = 0 \]

При \( y_2 = \frac{22}{9} \):

\[ x_2 = \frac{3 \cdot \frac{22}{9} - 12}{2} = \frac{\frac{22}{3} - 12}{2} = \frac{\frac{22 - 36}{3}}{2} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} \]

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: (0; 4), (-7/3; 22/9).