Solve the system of equations: $$\begin{cases} x-y=2 \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=-\frac{2}{3} \end{cases}$$

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Из первого уравнения выразим x:
  \( x = y + 2 \)
• Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение:
  \( \frac{1}{y+2} - \frac{1}{y} = -\frac{2}{3} \)
• Шаг 3: Приведем к общему знаменателю левую часть:
  \( \frac{y - (y+2)}{y(y+2)} = -\frac{2}{3} \)
  \( \frac{-2}{y^2+2y} = -\frac{2}{3} \)
• Шаг 4: Умножим обе части на -1 и перекрестно:
  \( 2 ∙ 3 = 2 ∙ (y^2+2y) \)
  \( 6 = 2y^2 + 4y \)
• Шаг 5: Перенесем все в одну сторону и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
  \( 2y^2 + 4y - 6 = 0 \)
  Разделим на 2:
  \( y^2 + 2y - 3 = 0 \)
• Шаг 6: Решим квадратное уравнение. Используем теорему Виета или дискриминант.
  По теореме Виета: \( y_1 + y_2 = -2 \) и \( y_1 ∙ y_2 = -3 \).
  Корни: \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = -3 \).
• Шаг 7: Найдем соответствующие значения x, подставляя y в уравнение \( x = y + 2 \):
  Если \( y_1 = 1 \), то \( x_1 = 1 + 2 = 3 \).
  Если \( y_2 = -3 \), то \( x_2 = -3 + 2 = -1 \).
• Шаг 8: Проверим решения, подставив их во второе уравнение.
  Для \( (3, 1) \): \( \frac{1}{3} - \frac{1}{1} = \frac{1-3}{3} = -\frac{2}{3} \) (Верно).
  Для \( (-1, -3) \): \( \frac{1}{-1} - \frac{1}{-3} = -1 + \frac{1}{3} = \frac{-3+1}{3} = -\frac{2}{3} \) (Верно).

Ответ: \( (3, 1) \) и \( (-1, -3) \)