Solve the system of equations: \[ \frac{3}{2x-4} = \frac{4}{y} + \frac{2}{x} \] \[ y = 5-x \]

Привет! Давай вместе разберемся с этой системой уравнений. Она выглядит немного страшно, но на самом деле всё проще, чем кажется.

Дано:

• \[ \frac{3}{2x-4} = \frac{4}{y} + \frac{2}{x} \]
• \[ y = 5-x \]

Решение:

Первым делом, мы видим, что у нас есть два уравнения. Второе уравнение очень простое, оно выражает y через x. Мы можем использовать это, чтобы подставить значение y в первое уравнение. Это называется методом подстановки.

1. Подстановка:

   Вместо y в первом уравнении подставляем (5-x):

   \[ \frac{3}{2x-4} = \frac{4}{(5-x)} + \frac{2}{x} \]

2. Приведение к общему знаменателю:

   Теперь нам нужно избавиться от дробей. Для этого приведем правую часть уравнения к общему знаменателю x(5-x):

   \[ \frac{3}{2x-4} = \frac{4x + 2(5-x)}{x(5-x)} \]

   Упрощаем числитель правой части:

   \[ \frac{3}{2x-4} = \frac{4x + 10 - 2x}{x(5-x)} \]

   \[ \frac{3}{2x-4} = \frac{2x + 10}{x(5-x)} \]

3. Крест-накрест:

   Теперь, когда у нас есть две дроби, равные друг другу, мы можем перемножить их крест-накрест (числитель первой на знаменатель второй и наоборот):

   \[ 3 \cdot x(5-x) = (2x + 10) \cdot (2x-4) \]

   Раскрываем скобки:

   \[ 3x(5-x) = 15x - 3x^2 \]

   \[ (2x + 10)(2x-4) = 4x^2 - 8x + 20x - 40 = 4x^2 + 12x - 40 \]

   Приравниваем:

   \[ 15x - 3x^2 = 4x^2 + 12x - 40 \]

4. Квадратное уравнение:

   Переносим всё в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0:

   \[ 0 = 4x^2 + 3x^2 + 12x - 15x - 40 \]

   \[ 7x^2 - 3x - 40 = 0 \]

5. Решение квадратного уравнения:

   Теперь найдем дискриминант (D) по формуле D = b² - 4ac:

   \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-40) \]

   \[ D = 9 + 1120 \]

   \[ D = 1129 \]

   Теперь найдем корни (x₁ и x₂) по формуле x = (-b ± √D) / 2a:

   \[ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1129}}{2 \cdot 7} = \frac{3 + \sqrt{1129}}{14} \]

   \[ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1129}}{2 \cdot 7} = \frac{3 - \sqrt{1129}}{14} \]

6. Нахождение y:

   Теперь, когда у нас есть значения x, мы можем найти соответствующие значения y, используя второе уравнение y = 5 - x.

   Для x₁:

   \[ y_1 = 5 - \frac{3 + \sqrt{1129}}{14} = \frac{70 - (3 + \sqrt{1129})}{14} = \frac{70 - 3 - \sqrt{1129}}{14} = \frac{67 - \sqrt{1129}}{14} \]

   Для x₂:

   \[ y_2 = 5 - \frac{3 - \sqrt{1129}}{14} = \frac{70 - (3 - \sqrt{1129})}{14} = \frac{70 - 3 + \sqrt{1129}}{14} = \frac{67 + \sqrt{1129}}{14} \]

Проверка знаменателей:

Важно убедиться, что знаменатели не равны нулю ни при каких значениях x и y.

• 2x - 4 ≠ 0 => 2x ≠ 4 => x ≠ 2
• y ≠ 0 => 5 - x ≠ 0 => x ≠ 5
• x ≠ 0

Наши найденные корни x₁ и x₂ не равны 0, 2 или 5, так что они подходят.

Ответ:

Система имеет два решения:

• \[ \left( \frac{3 + \sqrt{1129}}{14}, \frac{67 - \sqrt{1129}}{14} \right) \]
• \[ \left( \frac{3 - \sqrt{1129}}{14}, \frac{67 + \sqrt{1129}}{14} \right) \]