Solve the system of equations: \(\frac{x-1}{2} + \frac{y-2}{3} = \frac{3}{4}\), \(3x - 4y = 67\).

Решение:

1. Преобразуем первое уравнение:
   Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (12):
   \[ 12 \left( \frac{x-1}{2} + \frac{y-2}{3} \right) = 12 \left( \frac{3}{4} \right) \]
   \[ 6(x-1) + 4(y-2) = 9 \]
   \[ 6x - 6 + 4y - 8 = 9 \]
   \[ 6x + 4y - 14 = 9 \]
   \[ 6x + 4y = 23 \]
2. Решаем систему методом подстановки или сложения. Выберем метод подстановки.
   Выразим x из второго уравнения:
   \[ 3x = 67 + 4y \]
   \[ x = \frac{67 + 4y}{3} \]
3. Подставим полученное выражение для x в преобразованное первое уравнение:
   \[ 6\left( \frac{67 + 4y}{3} \right) + 4y = 23 \]
   \[ 2(67 + 4y) + 4y = 23 \]
   \[ 134 + 8y + 4y = 23 \]
   \[ 12y = 23 - 134 \]
   \[ 12y = -111 \]
   \[ y = \frac{-111}{12} \]
   Сократим дробь на 3:
   \[ y = -\frac{37}{4} \]
4. Найдем x, подставив значение y в выражение для x:
   \[ x = \frac{67 + 4\left(-\frac{37}{4}\right)}{3} \]
   \[ x = \frac{67 - 37}{3} \]
   \[ x = \frac{30}{3} \]
   \[ x = 10 \]

Проверка:

• Подставим x=10 и y=-37/4 в первое уравнение:
\[ \frac{10-1}{2} + \frac{-37/4 - 2}{3} = \frac{9}{2} + \frac{-37/4 - 8/4}{3} = \frac{9}{2} + \frac{-45/4}{3} = \frac{9}{2} - \frac{45}{12} = \frac{9}{2} - \frac{15}{4} = \frac{18}{4} - \frac{15}{4} = \frac{3}{4} \]
• Подставим x=10 и y=-37/4 во второе уравнение:
\[ 3(10) - 4\left(-\frac{37}{4}\right) = 30 + 37 = 67 \]

Ответ: x = 10, y = -37/4