Solve the system of equations: $$\frac{x+3}{2} - \frac{y-4}{7} = 1$$ $$6y - x = 5$$

Решение:

Данная система уравнений:

1. \( \frac{x+3}{2} - \frac{y-4}{7} = 1 \)
2. \( 6y - x = 5 \)

Упростим первое уравнение:

Умножим обе части на 14 (наименьшее общее кратное 2 и 7):

\[ 14 \left( \frac{x+3}{2} \right) - 14 \left( \frac{y-4}{7} \right) = 14 \cdot 1 \]\[ 7(x+3) - 2(y-4) = 14 \]\[ 7x + 21 - 2y + 8 = 14 \]\[ 7x - 2y + 29 = 14 \]\[ 7x - 2y = 14 - 29 \]\[ 7x - 2y = -15 \] (Уравнение 1')

Из второго уравнения выразим \( x \):

\[ 6y - x = 5 \]\[ x = 6y - 5 \] (Уравнение 2')

Подставим выражение для \( x \) из уравнения 2' в уравнение 1':

\[ 7(6y - 5) - 2y = -15 \]\[ 42y - 35 - 2y = -15 \]\[ 40y = -15 + 35 \]\[ 40y = 20 \]\[ y = \frac{20}{40} \]\[ y = \frac{1}{2} \] (или \( y = 0.5 \))

Теперь подставим найденное значение \( y \) в уравнение 2' для нахождения \( x \):

\[ x = 6y - 5 \]\[ x = 6 \left( \frac{1}{2} \right) - 5 \]\[ x = 3 - 5 \]\[ x = -2 \] (или \( x = -2.0 \))

Проверка:

Подставим \( x = -2 \) и \( y = 0.5 \) в исходные уравнения:

1) \( \frac{-2+3}{2} - \frac{0.5-4}{7} = \frac{1}{2} - \frac{-3.5}{7} = 0.5 - (-0.5) = 0.5 + 0.5 = 1 \)

2) \( 6(0.5) - (-2) = 3 + 2 = 5 \)

Оба уравнения выполняются.

Ответ: \( x = -2 \), \( y = 0.5 \).