Solve the system of equations: $$\frac{x - y + 1}{2} + \frac{x + y - 1}{5} = 7$$ $$\frac{x - y + 1}{3} - \frac{x + y - 1}{4} = -3$$

Решение:

Обозначим $$a = x - y + 1$$ и $$b = x + y - 1$$. Тогда система примет вид:

• \[ \begin{cases} \frac{a}{2} + \frac{b}{5} = 7 \\ \frac{a}{3} - \frac{b}{4} = -3 \end{cases} \]
• Первое уравнение: Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от знаменателей:
• \[ 5a + 2b = 70 \]
• Второе уравнение: Умножим обе части на 12:
• \[ 4a - 3b = -36 \]
• Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя переменными:
• \[ \begin{cases} 5a + 2b = 70 \\ 4a - 3b = -36 \end{cases} \]
• Решим эту систему методом подстановки или сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:
• \[ \begin{cases} 15a + 6b = 210 \\ 8a - 6b = -72 \end{cases} \]
• Сложим эти два уравнения:
• \[ (15a + 8a) + (6b - 6b) = 210 - 72 \]
• \[ 23a = 138 \]
• \[ a = \frac{138}{23} \]
• \[ a = 6 \]
• Подставим значение $$a=6$$ в первое уравнение ($$5a + 2b = 70$$):
• \[ 5(6) + 2b = 70 \]
• \[ 30 + 2b = 70 \]
• \[ 2b = 70 - 30 \]
• \[ 2b = 40 \]
• \[ b = 20 \]
• Теперь вернемся к исходным переменным $$x$$ и $$y$$:
• $$a = x - y + 1 = 6 ightarrow x - y = 5$$
• $$b = x + y - 1 = 20 ightarrow x + y = 21$$
• Получили новую систему:
• \[ \begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = 21 \end{cases} \]
• Сложим эти уравнения:
• \[ (x + x) + (-y + y) = 5 + 21 \]
• \[ 2x = 26 \]
• \[ x = 13 \]
• Подставим $$x=13$$ во второе уравнение ($$x + y = 21$$):
• \[ 13 + y = 21 \]
• \[ y = 21 - 13 \]
• \[ y = 8 \]

Проверка:

Первое уравнение:

• \[ \frac{13 - 8 + 1}{2} + \frac{13 + 8 - 1}{5} = \frac{6}{2} + \frac{20}{5} = 3 + 4 = 7 \]

Второе уравнение:

• \[ \frac{13 - 8 + 1}{3} - \frac{13 + 8 - 1}{4} = \frac{6}{3} - \frac{20}{4} = 2 - 5 = -3 \]

Ответ: $$x = 13$$, $$y = 8$$