Solve the system of equations: { \(\frac{1}{x}\) - \(\frac{1}{y}\) = 1, \(\frac{2}{x}\) - \(\frac{1}{2y}\) = 5. }

Привет! Давай разберем эту систему уравнений вместе. Это не так страшно, как кажется!

Дано:

• \[ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{2y} = 5 \end{cases} \]

Решение:

Чтобы решить эту систему, мы можем сделать замену переменных. Это поможет нам упростить уравнения.

Пусть:

• \[ u = \frac{1}{x} \]
• \[ v = \frac{1}{y} \]

Теперь подставим эти значения в нашу систему:

• \[ \begin{cases} u - v = 1 \\ 2u - \frac{1}{2}v = 5 \end{cases} \]

У нас получилось более простое линейное уравнение. Теперь решим его методом подстановки или сложения.

Метод подстановки:

1. Из первого уравнения выразим u:
\[ u = 1 + v \]
2. Подставим это выражение для u во второе уравнение:
\[ 2(1 + v) - \frac{1}{2}v = 5 \]
3. Раскроем скобки и упростим:
\[ 2 + 2v - \frac{1}{2}v = 5 \]
4. Соберем члены с v вместе:
\[ 2v - \frac{1}{2}v = 5 - 2 \]
5. Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{4v - v}{2} = 3 \]
6. \[ \frac{3v}{2} = 3 \]
7. Найдем v:
\[ 3v = 6 \] \[ v = 2 \]
8. Теперь, когда мы знаем v, найдем u, подставив значение v в выражение для u:
\[ u = 1 + v = 1 + 2 = 3 \]

Мы нашли значения u и v:

• \[ u = 3 \]
• \[ v = 2 \]

Но нам нужно найти x и y. Вспомним, что мы вводили:

• \[ u = \frac{1}{x} \]
• \[ v = \frac{1}{y} \]

Подставим найденные значения:

• \[ 3 = \frac{1}{x} \implies x = \frac{1}{3} \]
• \[ 2 = \frac{1}{y} \implies y = \frac{1}{2} \]

Проверка:

Подставим найденные значения x и y в исходные уравнения, чтобы убедиться, что все верно.

1. Первое уравнение:
\[ \frac{1}{\frac{1}{3}} - \frac{1}{\frac{1}{2}} = 3 - 2 = 1 \] (Верно!)
2. Второе уравнение:
\[ \frac{2}{\frac{1}{3}} - \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2 \cdot 3 - \frac{1}{1} = 6 - 1 = 5 \] (Верно!)

Ответ:

Решением системы являются: $$x = \frac{1}{3}$$, $$y = \frac{1}{2}$$.