Solve the system of equations: { x - 2y + 1 = 0 5xy + y^2 = 16

Решение:

Данная система уравнений:

• \( x - 2y + 1 = 0 \)
• \( 5xy + y^2 = 16 \)

Выразим \( x \) из первого уравнения:

\( x = 2y - 1 \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 5(2y - 1)y + y^2 = 16 \)

Раскроем скобки и упростим:

\( 10y^2 - 5y + y^2 = 16 \)

\( 11y^2 - 5y - 16 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(11)(-16) = 25 + 704 = 729 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{729} = 27 \)

Найдем значения \( y \):

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 27}{2 \times 11} = \frac{32}{22} = \frac{16}{11} \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 27}{2 \times 11} = \frac{-22}{22} = -1 \)

Теперь найдем соответствующие значения \( x \), подставляя \( y_1 \) и \( y_2 \) в уравнение \( x = 2y - 1 \):

Для \( y_1 = \frac{16}{11} \):

\( x_1 = 2 \left( \frac{16}{11} \right) - 1 = \frac{32}{11} - \frac{11}{11} = \frac{21}{11} \)

Для \( y_2 = -1 \):

\( x_2 = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3 \)

Таким образом, решениями системы являются пары \( (\frac{21}{11}, \frac{16}{11}) \) и \( (-3, -1) \).

Ответ: \( (\frac{21}{11}, \frac{16}{11}) \), \( (-3, -1) \).