Solve the system of equations: (x-6)(y-8)=0 (y-5)/(x+y-11) = 3

Решение:

Дана система уравнений:

1. \( (x-6)(y-8)=0 \)
2. \( \frac{y-5}{x+y-11} = 3 \)

Из первого уравнения следует, что либо \( x-6=0 \), либо \( y-8=0 \). Рассмотрим оба случая.

1. Случай 1: \( x-6=0 \)
   Из этого следует, что \( x=6 \). Подставим \( x=6 \) во второе уравнение:
   \( \frac{y-5}{6+y-11} = 3 \)
   \( \frac{y-5}{y-5} = 3 \)
   Это уравнение имеет решение при \( y-5 \neq 0 \), то есть \( y \neq 5 \). Если \( y \neq 5 \), то \( 1=3 \), что является неверным утверждением. Следовательно, в этом случае решений нет.
2. Случай 2: \( y-8=0 \)
   Из этого следует, что \( y=8 \). Подставим \( y=8 \) во второе уравнение:
   \( \frac{8-5}{x+8-11} = 3 \)
   \( \frac{3}{x-3} = 3 \)
   При условии, что \( x-3 \neq 0 \), то есть \( x \neq 3 \), умножим обе части уравнения на \( x-3 \):
   \( 3 = 3(x-3) \)
   \( 3 = 3x - 9 \)
   \( 3x = 12 \)
   \( x = 4 \)
   Проверим условие \( x \neq 3 \): \( 4 \neq 3 \). Таким образом, \( x=4 \) является допустимым значением.

Мы нашли одно решение: \( x=4, y=8 \).

Проверим решение, подставив \( x=4 \) и \( y=8 \) в исходные уравнения:

1. \( (4-6)(8-8) = (-2)(0) = 0 \). Первое уравнение выполняется.
2. \( \frac{8-5}{4+8-11} = \frac{3}{12-11} = \frac{3}{1} = 3 \). Второе уравнение выполняется.

Ответ: \( x=4, y=8 \).