Solve the system of equations: { x + y = 13 log₂ x + log₂ y = 2 + log₂ 6 }

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 13 \\ \log_2 x + \log_2 y = 2 + \log_2 6 \end{cases} \)

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойства логарифмов:

\( \log_2 (x \cdot y) = \log_2 2^2 + \log_2 6 \)

\( \log_2 (x \cdot y) = \log_2 4 + \log_2 6 \)

\( \log_2 (x \cdot y) = \log_2 (4 \cdot 6) \)

\( \log_2 (x \cdot y) = \log_2 24 \)

Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:

\( x \cdot y = 24 \)

Теперь у нас есть новая система уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 13 \\ x \cdot y = 24 \end{cases} \)

Из первого уравнения выразим \( y \):

\( y = 13 - x \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( x(13 - x) = 24 \)

\( 13x - x^2 = 24 \)

Перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\( x^2 - 13x + 24 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 169 - 96 = 73 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня. Найдём корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{73}}{2} \]

Получаем два значения для \( x \):

\( x_1 = \frac{13 + \sqrt{73}}{2} \) и \( x_2 = \frac{13 - \sqrt{73}}{2} \)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \) из первого уравнения \( y = 13 - x \):

Для \( x_1 = \frac{13 + \sqrt{73}}{2} \):

\[ y_1 = 13 - \frac{13 + \sqrt{73}}{2} = \frac{26 - (13 + \sqrt{73})}{2} = \frac{26 - 13 - \sqrt{73}}{2} = \frac{13 - \sqrt{73}}{2} \]

Для \( x_2 = \frac{13 - \sqrt{73}}{2} \):

\[ y_2 = 13 - \frac{13 - \sqrt{73}}{2} = \frac{26 - (13 - \sqrt{73})}{2} = \frac{26 - 13 + \sqrt{73}}{2} = \frac{13 + \sqrt{73}}{2} \]

Таким образом, решения системы уравнений:

\[ \left( x = \frac{13 + \sqrt{73}}{2}, y = \frac{13 - \sqrt{73}}{2} \right) \quad \text{и} \quad \left( x = \frac{13 - \sqrt{73}}{2}, y = \frac{13 + \sqrt{73}}{2} \right) \]

Ответ: \( \left( \frac{13 + \sqrt{73}}{2}, \frac{13 - \sqrt{73}}{2} \right) \), \( \left( \frac{13 - \sqrt{73}}{2}, \frac{13 + \sqrt{73}}{2} \right) \).