Solve the system of equations: { x+y=2 x^2+y^2=16 }

Привет! Давай разберемся с этой системой уравнений.

Дано:

• \[ \begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 + y^2 = 16 \end{cases} \]

Решение:

Это система нелинейных уравнений. Есть несколько способов ее решить. Воспользуемся методом подстановки.

1. Выразим одну переменную через другую из первого уравнения:
   Из уравнения \( x + y = 2 \) мы можем выразить, например, \( y \):
   \[ y = 2 - x \]
2. Подставим это выражение во второе уравнение:
   Теперь вместо \( y \) во втором уравнении \( x^2 + y^2 = 16 \) подставим \( (2 - x) \):
   \[ x^2 + (2 - x)^2 = 16 \]
3. Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:
   \[ x^2 + (4 - 4x + x^2) = 16 \]
   \[ x^2 + 4 - 4x + x^2 = 16 \]
   \[ 2x^2 - 4x + 4 - 16 = 0 \]
   \[ 2x^2 - 4x - 12 = 0 \]
4. Решим полученное квадратное уравнение.
   Это уравнение можно упростить, разделив все члены на 2:
   \[ x^2 - 2x - 6 = 0 \]
   Используем формулу для корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
   В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -6 \).
   Найдем дискриминант \( D \):
   \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-6) = 4 + 24 = 28 \]
   Теперь найдем значения \( x \):
   \[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{28}}{2(1)} = \frac{2 + \sqrt{28}}{2} \]
   \[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{28}}{2(1)} = \frac{2 - \sqrt{28}}{2} \]
   Упростим \( \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7} \>.
   \[ x_1 = \frac{2 + 2\sqrt{7}}{2} = 1 + \sqrt{7} \]
   \[ x_2 = \frac{2 - 2\sqrt{7}}{2} = 1 - \sqrt{7} \]
5. Найдем соответствующие значения 'y' для каждого 'x'.
   Используем выражение \( y = 2 - x \).
   Для \( x_1 = 1 + \sqrt{7} \):
   \[ y_1 = 2 - (1 + \sqrt{7}) = 2 - 1 - \sqrt{7} = 1 - \sqrt{7} \]
   Для \( x_2 = 1 - \sqrt{7} \):
   \[ y_2 = 2 - (1 - \sqrt{7}) = 2 - 1 + \sqrt{7} = 1 + \sqrt{7} \]

Проверка:
Для пары \( (1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}) \):
\( x + y = (1 + \sqrt{7}) + (1 - \sqrt{7}) = 2 \) (Верно)
\( x^2 + y^2 = (1 + \sqrt{7})^2 + (1 - \sqrt{7})^2 = (1 + 2\sqrt{7} + 7) + (1 - 2\sqrt{7} + 7) = 8 + 2\sqrt{7} + 8 - 2\sqrt{7} = 16 \) (Верно)

Для пары \( (1 - \sqrt{7}, 1 + \sqrt{7}) \):
\( x + y = (1 - \sqrt{7}) + (1 + \sqrt{7}) = 2 \) (Верно)
\( x^2 + y^2 = (1 - \sqrt{7})^2 + (1 + \sqrt{7})^2 = (1 - 2\sqrt{7} + 7) + (1 + 2\sqrt{7} + 7) = 8 - 2\sqrt{7} + 8 + 2\sqrt{7} = 16 \) (Верно)

Ответ:

• \[ (1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}) \]
• \[ (1 - \sqrt{7}, 1 + \sqrt{7}) \]