Solve the system of equations: ((x - y)(x + y) - x(x + 10) = y(5 - y) + 15, [(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 - 18.

Решение:

Раскроем скобки и упростим оба уравнения системы.

Первое уравнение:

\( (x - y)(x + y) - x(x + 10) = y(5 - y) + 15 \)

\( x^2 - y^2 - x^2 - 10x = 5y - y^2 + 15 \)

\( -y^2 - 10x = 5y - y^2 + 15 \)

\( -10x = 5y + 15 \)

Разделим обе части на -5:

\( 2x = -y - 3 \)

Выразим \( y \) через \( x \):

\( y = -2x - 3 \)

Второе уравнение:

\( (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 - 18 \)

\( x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 - 18 \)

\( x^2 + 2x + 2 + y^2 - 2y = x^2 + 8x + 4y + 20 - 18 \)

\( x^2 + 2x + 2 + y^2 - 2y = x^2 + 8x + 4y + 2 \)

Сократим \( x^2 \) и \( 2 \) с обеих сторон:

\( 2x - 2y = 8x + 4y \)

Перенесём переменные в одну сторону:

\( 2x - 8x = 4y + 2y \)

\( -6x = 6y \)

\( y = -x \)

Теперь у нас есть два выражения для \( y \). Приравняем их:

\( -2x - 3 = -x \)

\( -3 = -x + 2x \)

\( -3 = x \)

Теперь найдём \( y \), подставив \( x = -3 \) в любое из уравнений для \( y \). Используем \( y = -x \):

\( y = -(-3) \)

\( y = 3 \)

Проверим найденные значения в первом исходном уравнении:

\( (-3 - 3)(-3 + 3) - (-3)(-3 + 10) = 3(5 - 3) + 15 \)

\( (-6)(0) - (-3)(7) = 3(2) + 15 \)

\( 0 + 21 = 6 + 15 \)

\( 21 = 21 \) (Верно)

Проверим во втором исходном уравнении:

\( (-3 + 1)^2 + (3 - 1)^2 = (-3 + 4)^2 + (3 + 2)^2 - 18 \)

\( (-2)^2 + (2)^2 = (1)^2 + (5)^2 - 18 \)

\( 4 + 4 = 1 + 25 - 18 \)

\( 8 = 26 - 18 \)

\( 8 = 8 \) (Верно)

Ответ: x = -3, y = 3.