Solve the system of equations: (x - y)(x + y) – x(x + 10) = y(5 – y) + 15, (x + 1)² + (y - 1)² = (x + 4)² + (y + 2)² – 18.

Решение:

Раскроем скобки и упростим уравнения:

Первое уравнение:

\[ (x - y)(x + y) - x(x + 10) = y(5 - y) + 15 \]

\[ x^2 - y^2 - x^2 - 10x = 5y - y^2 + 15 \]

\[ -y^2 - 10x = 5y - y^2 + 15 \]

Сократим \( -y^2 \) с обеих сторон:

\[ -10x = 5y + 15 \]

Разделим всё на 5:

\[ -2x = y + 3 \]

Выразим \( y \) через \( x \):

\[ y = -2x - 3 \]

Второе уравнение:

\[ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 - 18 \]

\[ (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = (x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 4y + 4) - 18 \]

\[ x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 - 18 \]

Сократим \( x^2 \) и \( y^2 \) с обеих сторон:

\[ 2x + 2 - 2y = 8x + 20 + 4y - 18 \]

\[ 2x + 2 - 2y = 8x + 4y + 2 \]

Перенесём все члены с \( x \) и \( y \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 2x - 8x - 2y - 4y = 2 - 2 \]

\[ -6x - 6y = 0 \]

Разделим всё на -6:

\[ x + y = 0 \]

\[ y = -x \]

Теперь у нас есть два выражения для \( y \):

\[ y = -2x - 3 \]

\[ y = -x \]

Приравняем их:

\[ -2x - 3 = -x \]

Решим для \( x \):

\[ -3 = -x + 2x \]

\[ -3 = x \]

Теперь найдём \( y \), подставив \( x = -3 \) в любое из уравнений. Возьмём \( y = -x \):

\[ y = -(-3) \]

\[ y = 3 \]

Проверим найденные значения в первом уравнении:

\[ (x - y)(x + y) - x(x + 10) = y(5 - y) + 15 \]

\[ (-3 - 3)(-3 + 3) - (-3)(-3 + 10) = 3(5 - 3) + 15 \]

\[ (-6)(0) - (-3)(7) = 3(2) + 15 \]

\[ 0 + 21 = 6 + 15 \]

\[ 21 = 21 \]

Проверим найденные значения во втором уравнении:

\[ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 - 18 \]

\[ (-3 + 1)^2 + (3 - 1)^2 = (-3 + 4)^2 + (3 + 2)^2 - 18 \]

\[ (-2)^2 + (2)^2 = (1)^2 + (5)^2 - 18 \]

\[ 4 + 4 = 1 + 25 - 18 \]

\[ 8 = 26 - 18 \]

\[ 8 = 8 \]

Оба уравнения сходятся.

Ответ: x = -3, y = 3.