Solve the system of inequalities: {\frac{x+2}{8} - \frac{x+2}{4} < \frac{x-1}{2}, \\ \frac{x-2}{3} + \frac{x-1}{3} < \frac{x-1}{4}.}

Решение:

• Первое неравенство:
  \(\frac{x+2}{8} - \frac{x+2}{4} < \frac{x-1}{2}\)
  Приведем к общему знаменателю 8:
  \(\frac{x+2}{8} - \frac{2(x+2)}{8} < \frac{4(x-1)}{8}\)
  Умножим обе стороны на 8:
  \(x+2 - 2(x+2) < 4(x-1)\)
  \(x+2 - 2x - 4 < 4x - 4\)
  \(-x - 2 < 4x - 4\)
  \(-x - 4x < -4 + 2\)
  \(-5x < -2\)
  Разделим на -5 и изменим знак неравенства:
  \(x > \frac{2}{5}\)
• Второе неравенство:
  \(\frac{x-2}{3} + \frac{x-1}{3} < \frac{x-1}{4}\)
  \(\frac{x-2+x-1}{3} < \frac{x-1}{4}\)
  \(\frac{2x-3}{3} < \frac{x-1}{4}\)
  Приведем к общему знаменателю 12:
  \(\frac{4(2x-3)}{12} < \frac{3(x-1)}{12}\)
  Умножим обе стороны на 12:
  \(4(2x-3) < 3(x-1)\)
  \(8x - 12 < 3x - 3\)
  \(8x - 3x < -3 + 12\)
  \(5x < 9\)
  \(x < \frac{9}{5}\)
• Объединение решений:
  Нам нужно найти пересечение условий \(x > \frac{2}{5}\) и \(x < \frac{9}{5}\).
  Это означает, что \(x\) должен быть больше \(\frac{2}{5}\) и одновременно меньше \(\frac{9}{5}\).
  Таким образом, решение будет \((\frac{2}{5}; \frac{9}{5})\).

Ответ: \((\frac{2}{5}; \frac{9}{5})\)