Solve the trigonometric equation: 2sin²x + sinx.cosx + √3(sin2x + cos²x) = 0 in the interval [-5π/6, 11π/6].

Решение:

Дано тригонометрическое уравнение: \( 2\sin^2x + \sin x \cdot \cos x + \sqrt{3}(\sin 2x + \cos^2x) = 0 \)

Приведём уравнение к более простому виду, используя формулу двойного угла для синуса \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \) и основное тригонометрическое тождество \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \).

1. Преобразуем выражение в скобках: \( \sin 2x + \cos^2x = 2\sin x \cos x + \cos^2x \).
2. Подставим это обратно в уравнение: \( 2\sin^2x + \sin x \cos x + \sqrt{3}(2\sin x \cos x + \cos^2x) = 0 \).
3. Раскроем скобки: \( 2\sin^2x + \sin x \cos x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \sqrt{3}\cos^2x = 0 \).
4. Сгруппируем члены: \( (2\sin^2x + \sin x \cos x) + (2\sqrt{3}\sin x \cos x + \sqrt{3}\cos^2x) = 0 \).
5. Вынесем общий множитель из каждой группы: \( \sin x(2\sin x + \cos x) + \sqrt{3}\cos x(2\sin x + \cos x) = 0 \).
6. Снова вынесем общий множитель \( (2\sin x + \cos x) \): \( (\sin x + \sqrt{3}\cos x)(2\sin x + \cos x) = 0 \).
7. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
• Случай 1: \( 2\sin x + \cos x = 0 \).

Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), что не удовлетворяет уравнению.

Разделим на \( \cos x \) (так как \( \cos x \neq 0 \)): \( 2\frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0 \) \( \implies 2\tan x = -1 \) \( \implies \tan x = -1/2 \).

Значит, \( x = \arctan(-1/2) + \pi k \), где \( k \) — целое число.

• Случай 2: \( \sin x + \sqrt{3}\cos x = 0 \).

Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = 0 \), что невозможно.

Разделим на \( \cos x \): \( \frac{\sin x}{\cos x} + \sqrt{3} = 0 \) \( \implies \tan x = -\sqrt{3} \).

Следовательно, \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

8. Теперь найдём решения в заданном интервале \( [ -5\pi/6, 11\pi/6 ] \).
• Для \( \tan x = -1/2 \): \( x = \arctan(-1/2) + \pi k \). \( \arctan(-1/2) \) примерно равно \( -0.4636 \) радиан.

При \( k=1 \): \( x = -0.4636 + \pi \approx 2.678 \). Это значение находится в интервале \( [-2.618, 5.760] \).

При \( k=2 \): \( x = -0.4636 + 2\pi \approx 5.819 \). Это значение находится в интервале.

При \( k=0 \): \( x = -0.4636 \). Это значение находится в интервале.

Таким образом, решения из этого случая в интервале: \( \arctan(-1/2) \), \( \arctan(-1/2) + \pi \), \( \arctan(-1/2) + 2\pi \).

• Для \( \tan x = -\sqrt{3} \): \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \).

При \( n=1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \). Это значение находится в интервале.

При \( n=2 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \). Это значение находится в интервале.

При \( n=0 \): \( x = -\frac{\pi}{3} \). Это значение находится в интервале.

При \( n=-1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3} \). Это значение находится в интервале.

Ответ: \( -\frac{\pi}{3}, \arctan(-1/2), \frac{2\pi}{3}, \arctan(-1/2) + \pi, \frac{5\pi}{3} \).