Соотношения между сторонами и углами треугольника Вариант 2 А1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 104°. Найдите два других угла треугольника. А2. В треугольнике CDE проведена биссектриса EF. ∠C = 90°, ∠D = 30°. а) Докажите, что треугольник DEF - равнобедренный. б) Сравните отрезки CF и DF. АЗ. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника.

Решение А1

В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Рассмотрим два случая:

1. Если угол 104° находится при основании, то сумма двух углов при основании будет равна 104° + 104° = 208°, что больше 180°. Этот случай невозможен, так как сумма углов треугольника должна быть равна 180°.
2. Если угол 104° находится напротив основания (угол при вершине), то сумма двух других углов (при основании) будет равна 180° - 104° = 76°. Поскольку треугольник равнобедренный, эти два угла равны, поэтому каждый из них равен 76° / 2 = 38°.

Ответ: Два других угла треугольника равны 38°.

Решение А2

Давай разберем задачу по порядку. Нам дан треугольник CDE с биссектрисой EF, где ∠C = 90° и ∠D = 30°.

а) Докажем, что треугольник DEF - равнобедренный.

1. Сначала найдем ∠E в треугольнике CDE: ∠E = 180° - ∠C - ∠D = 180° - 90° - 30° = 60°.
2. Так как EF - биссектриса ∠E, то ∠DEF = ∠CEF = ∠E / 2 = 60° / 2 = 30°.
3. Теперь рассмотрим треугольник DEF. В нём ∠DEF = 30° и ∠D = 30°. Значит, углы при стороне DF равны, и треугольник DEF - равнобедренный с основанием DF.

б) Сравним отрезки CF и DF.

1. Рассмотрим треугольник CDE. В нём ∠C = 90° и ∠D = 30°. Следовательно, CE = 1/2 DE (катет, лежащий против угла 30°).
2. Рассмотрим треугольник CEF. В нём ∠CEF = 30° и ∠C = 90°. Значит, CF = CE \(\cdot\) ctg(30°) = CE \(\cdot\) √3.
3. Теперь рассмотрим треугольник DEF. Так как он равнобедренный (доказано в пункте а), DE = EF. А так как DE = 2 \(\cdot\) CE, то EF = 2 \(\cdot\) CE.
4. Рассмотрим треугольник DEF. EF - биссектриса, значит DF = DE.
5. Сравним CF и DF: DF = DE = 2 \(\cdot\) CE, a CF = CE \(\cdot\) √3. Так как 2 > √3, то DF > CF.

Ответ: Треугольник DEF - равнобедренный, и DF > CF.

Решение A3

Пусть x - длина боковой стороны равнобедренного треугольника, а y - длина основания. Из условия задачи следует, что периметр треугольника равен 77 см, и одна из сторон больше другой на 17 см. Рассмотрим два случая:

1. Если основание больше боковой стороны на 17 см, то y = x + 17. Периметр треугольника равен x + x + y = 2x + y = 77. Подставим y = x + 17 в уравнение периметра: 2x + (x + 17) = 77 \(\Rightarrow\) 3x + 17 = 77 \(\Rightarrow\) 3x = 60 \(\Rightarrow\) x = 20. Тогда y = 20 + 17 = 37. Таким образом, стороны треугольника равны 20 см, 20 см и 37 см.
2. Если боковая сторона больше основания на 17 см, то x = y + 17. Периметр треугольника равен x + x + y = 2x + y = 77. Подставим x = y + 17 в уравнение периметра: 2(y + 17) + y = 77 \(\Rightarrow\) 2y + 34 + y = 77 \(\Rightarrow\) 3y + 34 = 77 \(\Rightarrow\) 3y = 43 \(\Rightarrow\) y = 43/3 \(\approx\) 14.33. Тогда x = 14.33 + 17 = 31.33. Таким образом, стороны треугольника равны примерно 31.33 см, 31.33 см и 14.33 см. Однако, в этом случае треугольник не может быть тупоугольным, так как наибольшая сторона меньше суммы двух других сторон.

Следовательно, подходит только первый случай.

Ответ: Стороны треугольника равны 20 см, 20 см и 37 см.

Отлично! Ты справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!