Составь математическую модель по словесной: диагональ прямоугольника равна 25 дм, а его периметр равен 62 дм. Найди стороны прямоугольника. Выбери подходящую математическую модель, обозначив длину прямоугольника как а дм, а ширину b дм:

Решение:

Обозначим длину прямоугольника как \( a \) дм, а ширину — \( b \) дм.

По условию задачи:

• Диагональ прямоугольника равна 25 дм. По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = 25^2 \)
• Периметр прямоугольника равен 62 дм. Формула периметра: \( 2(a + b) = 62 \)

Таким образом, математическая модель состоит из системы уравнений:

\[ \begin{cases} a^2 + b^2 = 625 \\ 2(a + b) = 62 \end{cases} \]

Из второго уравнения выразим \( a + b \):

\[ a + b = \frac{62}{2} \]

\[ a + b = 31 \]

Теперь выразим \( a \) через \( b \) (или наоборот):

\[ a = 31 - b \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ (31 - b)^2 + b^2 = 625 \]

Раскроем скобки:

\[ 31^2 - 2 \cdot 31 \cdot b + b^2 + b^2 = 625 \]

\[ 961 - 62b + 2b^2 = 625 \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\[ 2b^2 - 62b + 961 - 625 = 0 \]

\[ 2b^2 - 62b + 336 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 2:

\[ b^2 - 31b + 168 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

\[ D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168 = 961 - 672 = 289 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \]

Найдём значения \( b \):

\[ b_1 = \frac{31 + 17}{2} = \frac{48}{2} = 24 \]

\[ b_2 = \frac{31 - 17}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

Если \( b = 24 \) дм, то \( a = 31 - 24 = 7 \) дм.

Если \( b = 7 \) дм, то \( a = 31 - 7 = 24 \) дм.

Поскольку длина обычно больше ширины, примем \( a = 24 \) дм и \( b = 7 \) дм.

Ответ: стороны прямоугольника равны 24 дм и 7 дм.