Составим таблицу значений sin a, cos a, tg а для углов х, равных 30,45°, 60°: α 30° 45° 60° sin a 1 √2 √3 2 2 2 cos a √√3 √2 1 2 2 2 tg a √3 1 √B 3 Задачи 591 Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, AB=17; 6) BC = 21, АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС = 24, АВ = 25. α 1 592 Постройте угол а, если: a) tg a=; tga=; 2 1 r) cos a=;) sin a = 2; e) sin x = 0,4. 3 593 Найдите: а) sin a n tga, если cos a = cos a = 1 3 tga=; 4 α = 0,2; a=2; 6) sina u tga, если a=2; в) cosa n tga, если sin a= 3 √3 2 ; г) cosa и tga, если sir 1

Ответ: Решения задач 591-593 представлены ниже.

591

а) Дано: BC = 8, AB = 17.

Найдем AC по теореме Пифагора:

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\]

Тогда:

• \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} \approx 0.47\]
• \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} \approx 0.88\]
• \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15} \approx 0.53\]

• \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} \approx 0.88\]
• \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} \approx 0.47\]
• \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8} = 1.875\]

б) Дано: BC = 21, AC = 20.

Найдем AB по теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29\]

Тогда:

• \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29} \approx 0.72\]
• \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29} \approx 0.69\]
• \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20} = 1.05\]

• \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29} \approx 0.69\]
• \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29} \approx 0.72\]
• \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21} \approx 0.95\]

в) Дано: BC = 1, AC = 2.

Найдем AB по теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\]

Тогда:

• \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.45\]
• \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0.89\]
• \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2} = 0.5\]

• \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0.89\]
• \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.45\]
• \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2\]

г) Дано: AC = 24, AB = 25.

Найдем BC по теореме Пифагора:

\[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7\]

Тогда:

• \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} = 0.28\]
• \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} = 0.96\]
• \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24} \approx 0.29\]

• \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} = 0.96\]
• \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} = 0.28\]
• \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7} \approx 3.43\]

592

а) tg α = 1/2: Угол α ≈ 26.6°

б) tg α = 3/4: Угол α ≈ 36.9°

в) cos α = 0.2: Угол α ≈ 78.5°

г) cos α = 2/3: Угол α ≈ 48.2°

д) sin α = 1/2: Угол α = 30°

e) sin α = 0.4: Угол α ≈ 23.6°

593

a) sin α и tg α, если cos α = 2/3

\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]

\[\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

\[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\]

б) sin α и tg α, если cos α = 1/3

\[\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

\[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}\]

в) cos α и tg α, если sin α = √3 / 2

\[\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\]

\[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\]

г) cos α и tg α, если sin α = 1/3

\[\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

\[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\]

Ответ: Решения задач 591-593 представлены выше.