Составить и вычислить двукратный интеграл от функции f(x; y) = x²y - y² по области, ограниченной линиями y² = x; x = 1.

Краткое пояснение:

Для решения задачи необходимо найти пределы интегрирования для x и y, исходя из заданных линий, а затем вычислить двойной интеграл от функции f(x, y).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определение области интегрирования.
   Область ограничена параболой \( y^2 = x \) и прямой \( x = 1 \). Из \( y^2 = x \) следует, что \( y = \pm\sqrt{x} \). Таким образом, область интегрирования задается условиями: \( 0 \le x \le 1 \) и \( -\sqrt{x} \le y \le \sqrt{x} \).
2. Шаг 2: Составление двойного интеграла.
   Интеграл будет иметь вид: $$ I = \int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} (x^2y - y^2) dy dx $$
3. Шаг 3: Вычисление внутреннего интеграла по y.
   $$ \int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} (x^2y - y^2) dy = \left[ \frac{x^2y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} $$
   Подставляем пределы интегрирования:
   $$ \left( \frac{x^2(\sqrt{x})^2}{2} - \frac{(\sqrt{x})^3}{3} \right) - \left( \frac{x^2(-\sqrt{x})^2}{2} - \frac{(-\sqrt{x})^3}{3} \right) $$
   $$ = \left( \frac{x^2 · x}{2} - \frac{x\sqrt{x}}{3} \right) - \left( \frac{x^2 · x}{2} - \frac{-x\sqrt{x}}{3} \right) $$
   $$ = \left( \frac{x^3}{2} - \frac{x^{3/2}}{3} \right) - \left( \frac{x^3}{2} + \frac{x^{3/2}}{3} \right) $$
   $$ = \frac{x^3}{2} - \frac{x^{3/2}}{3} - \frac{x^3}{2} - \frac{x^{3/2}}{3} = -\frac{2x^{3/2}}{3} $$
4. Шаг 4: Вычисление внешнего интеграла по x.
   $$ I = \int_{0}^{1} -\frac{2x^{3/2}}{3} dx $$
   $$ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1} x^{3/2} dx $$
   $$ = -\frac{2}{3} \left[ \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} \right]_{0}^{1} $$
   $$ = -\frac{2}{3} \left[ \frac{x^{5/2}}{5/2} \right]_{0}^{1} $$
   $$ = -\frac{2}{3} \left[ \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_{0}^{1} $$
   $$ = -\frac{2}{3} \left( \frac{2}{5}(1)^{5/2} - \frac{2}{5}(0)^{5/2} \right) $$
   $$ = -\frac{2}{3} \left( \frac{2}{5} - 0 \right) = -\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{4}{15} $$

Ответ: -4/15