Составить уравнение касательной к графику функции y = 1/2x³ + 4x² = 3x в точке x₀=n.

Для решения данной задачи необходимо составить уравнение касательной к графику функции. Уравнение касательной имеет вид: $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$, где $$x_0$$ - точка касания, $$f'(x_0)$$ - значение производной функции в точке $$x_0$$, $$f(x_0)$$ - значение функции в точке $$x_0$$.

Дано: $$y = \frac{1}{2}x^3 + 4x^2 = 3x$$, $$x_0 = n = 2$$.

1. Вычислим значение функции в точке $$x_0 = 2$$:

$$f(x_0) = f(2) = \frac{1}{2}(2)^3 + 4(2)^2 - 3(2) = \frac{1}{2} \cdot 8 + 4 \cdot 4 - 6 = 4 + 16 - 6 = 14$$

2. Найдем производную функции:

$$y' = f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 3x^2 + 4 \cdot 2x - 3 = \frac{3}{2}x^2 + 8x - 3$$

3. Вычислим значение производной в точке $$x_0 = 2$$:

$$f'(x_0) = f'(2) = \frac{3}{2}(2)^2 + 8(2) - 3 = \frac{3}{2} \cdot 4 + 16 - 3 = 6 + 16 - 3 = 19$$

4. Составим уравнение касательной:

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) = 19(x - 2) + 14 = 19x - 38 + 14 = 19x - 24$$

$$y = 19x - 24$$

Ответ: y = 19x - 24