Составьте алгоритм получения из числа 10 числа 58, содержащий не более 5 команд. Если таких алгоритмов несколько, то запишите любой из них. В ответе запишите номера команд без пробелов и запятых, например, 11122

Решение:

Чтобы получить число 58 из числа 10, используя команды «возведи в квадрат» (1) и «вычти 2» (2), нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Возвести 10 в квадрат: \( 10^2 = 100 \). Команда: 1.
2. Из полученного числа 100 вычесть 2: \( 100 - 2 = 98 \). Команда: 2.
3. Из полученного числа 98 вычесть 2: \( 98 - 2 = 96 \). Команда: 2.
4. Из полученного числа 96 вычесть 2: \( 96 - 2 = 94 \). Команда: 2.
5. Из полученного числа 94 вычесть 2: \( 94 - 2 = 92 \). Команда: 2.
6. Из полученного числа 92 вычесть 2: \( 92 - 2 = 90 \). Команда: 2.
7. Из полученного числа 90 вычесть 2: \( 90 - 2 = 88 \). Команда: 2.
8. Из полученного числа 88 вычесть 2: \( 88 - 2 = 86 \). Команда: 2.
9. Из полученного числа 86 вычесть 2: \( 86 - 2 = 84 \). Команда: 2.
10. Из полученного числа 84 вычесть 2: \( 84 - 2 = 82 \). Команда: 2.
11. Из полученного числа 82 вычесть 2: \( 82 - 2 = 80 \). Команда: 2.
12. Из полученного числа 80 вычесть 2: \( 80 - 2 = 78 \). Команда: 2.
13. Из полученного числа 78 вычесть 2: \( 78 - 2 = 76 \). Команда: 2.
14. Из полученного числа 76 вычесть 2: \( 76 - 2 = 74 \). Команда: 2.
15. Из полученного числа 74 вычесть 2: \( 74 - 2 = 72 \). Команда: 2.
16. Из полученного числа 72 вычесть 2: \( 72 - 2 = 70 \). Команда: 2.
17. Из полученного числа 70 вычесть 2: \( 70 - 2 = 68 \). Команда: 2.
18. Из полученного числа 68 вычесть 2: \( 68 - 2 = 66 \). Команда: 2.
19. Из полученного числа 66 вычесть 2: \( 66 - 2 = 64 \). Команда: 2.
20. Из полученного числа 64 вычесть 2: \( 64 - 2 = 62 \). Команда: 2.
21. Из полученного числа 62 вычесть 2: \( 62 - 2 = 60 \). Команда: 2.
22. Из полученного числа 60 вычесть 2: \( 60 - 2 = 58 \). Команда: 2.

Общая последовательность команд: 122222222222222222222. Эта последовательность содержит 22 команды, что больше 5.

Попробуем другой подход:

1. Возвести 7 в квадрат: \( 7^2 = 49 \). Команда: 1.
2. Прибавить 10: \( 49 + 10 = 59 \). (Эта команда отсутствует в условии, поэтому так решить нельзя.)

Попробуем алгоритм, где мы начинаем с 10 и пытаемся получить 58:

1. Возвести 10 в квадрат: \( 10^2 = 100 \). Команда: 1.
2. Вычесть 2: \( 100 - 2 = 98 \). Команда: 2.
3. Вычесть 2: \( 98 - 2 = 96 \). Команда: 2.
4. Вычесть 2: \( 96 - 2 = 94 \). Команда: 2.
5. Вычесть 2: \( 94 - 2 = 92 \). Команда: 2.
6. Вычесть 2: \( 92 - 2 = 90 \). Команда: 2.
7. Вычесть 2: \( 90 - 2 = 88 \). Команда: 2.
8. Вычесть 2: \( 88 - 2 = 86 \). Команда: 2.
9. Вычесть 2: \( 86 - 2 = 84 \). Команда: 2.
10. Вычесть 2: \( 84 - 2 = 82 \). Команда: 2.
11. Вычесть 2: \( 82 - 2 = 80 \). Команда: 2.
12. Вычесть 2: \( 80 - 2 = 78 \). Команда: 2.
13. Вычесть 2: \( 78 - 2 = 76 \). Команда: 2.
14. Вычесть 2: \( 76 - 2 = 74 \). Команда: 2.
15. Вычесть 2: \( 74 - 2 = 72 \). Команда: 2.
16. Вычесть 2: \( 72 - 2 = 70 \). Команда: 2.
17. Вычесть 2: \( 70 - 2 = 68 \). Команда: 2.
18. Вычесть 2: \( 68 - 2 = 66 \). Команда: 2.
19. Вычесть 2: \( 66 - 2 = 64 \). Команда: 2.
20. Вычесть 2: \( 64 - 2 = 62 \). Команда: 2.
21. Вычесть 2: \( 62 - 2 = 60 \). Команда: 2.
22. Вычесть 2: \( 60 - 2 = 58 \). Команда: 2.

Этот алгоритм тоже содержит 22 команды.

Рассмотрим, как можно получить 58, не превышая 5 команд:

Заметим, что \( 58 \) — это \( 7^2 + 9 \) или \( 8^2 - 6 \). Нам доступны только операции возведения в квадрат и вычитания 2.

Попробуем получить число, квадрат которого близок к 58. Ближайший квадрат — \( 7^2 = 49 \) или \( 8^2 = 64 \).

Алгоритм 1 (через 8):

1. Возвести 8 в квадрат: \( 8^2 = 64 \). Команда: 1.
2. Вычесть 2: \( 64 - 2 = 62 \). Команда: 2.
3. Вычесть 2: \( 62 - 2 = 60 \). Команда: 2.
4. Вычесть 2: \( 60 - 2 = 58 \). Команда: 2.

Последовательность команд: 1222. Эта последовательность содержит 4 команды, что удовлетворяет условию.

Алгоритм 2 (через 7):

Нам нужно получить 7 из 10, используя только вычитание 2. Это невозможно, так как \( 10 - 2 - 2 - 2 = 4 \) и \( 10 - 2 - 2 - 2 - 2 = 2 \).

Следовательно, единственный рабочий алгоритм в рамках 5 команд — через возведение 8 в квадрат.

Ответ: 1222