Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 7 и -2.

Решение:

Чтобы составить квадратное уравнение по заданным корням, воспользуемся теоремой Виета. Если \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), то:

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
• Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)

Для приведённого квадратного уравнения (где \( a = 1 \)) теорема Виета выглядит так:

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -b \)
• Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = c \)

Данные корни: \( x_1 = 7 \) и \( x_2 = -2 \).

Найдём сумму корней:

\[ x_1 + x_2 = 7 + (-2) = 5 \]

Следовательно, \( -b = 5 \), значит \( b = -5 \).

Найдём произведение корней:

\[ x_1 \cdot x_2 = 7 \cdot (-2) = -14 \]

Следовательно, \( c = -14 \).

Так как мы составляем приведённое квадратное уравнение, то \( a = 1 \).

Подставляем найденные коэффициенты \( a=1, b=-5, c=-14 \) в уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \).

Получаем уравнение: \( 1x^2 + (-5)x + (-14) = 0 \), что упрощается до \( x^2 - 5x - 14 = 0 \).

Ответ: \( x^2 - 5x - 14 = 0 \).